35.3. Исследование уравнения разветвления.
Нетрудно подсчитать, что результант 
многочленов 
равен
Определяя из уравнения (35.9) с нужной степенью точности 
мы затем спомощью формул (35.8) можем найти с той же степенью точности малые решения приближенного уравнения разветвления (35.6), а значит, и малые решения краевой задачи (35.4) — (35.5).
Дадим, например, без обоснования асимптотику 
при больших значениях 
, чему соответствует асимптотика соответствующих значений 
вне малой полоски, окружающей кривую разветвления.
При 
, и из уравнения (35.9) находим, что
Переходя к старым переменным по формулам (35.8), получим
Точно так же при 
Далее, при 
(см. рис. 18) из (35.9) имеем 
откуда с помощью формул (35.8) находим
при
Этим же способом можно получить асимптотику решений вблизи кривой разветвления.
Полагая в (35.9)
нетрудно прийти к выводу, что если при 
то
Следовательно, при
что позволяет дать асимптотику для
при
Можно показать также, что при этом
Заметим, что полученные формулы дают возможность построить также и приближенное решение задачи (35.6). Можно показать, что в первом приближении
Подставляя вместо 
его асимптотические выражения, найдем асимптотику всех решений задачи (35.6), а значит, и задачи (35.4) — (35.5).
)
.
на две части: выше кривой существует ровно три вещественных малых решения уравнения разветвления, а ниже кривой существует ровно одно вещественное малое решение уравнения разветвления.
в уравнении (35.7) к одному параметру, принимающему произвольные вещественные значения. Этого можно добиться, введя новые переменные 0 и 
по формулам
уравнение (35.7) примет вид
как функции 
изображен на рис. 18. Точка 
является точкой ветвления. Существует три однозначные ветви: ветвь 
определенная при всех значениях 
, и ветви 
определенные при 
и сливающиеся при 
.
