35.3. Исследование уравнения разветвления.
Нетрудно подсчитать, что результант
многочленов
равен
Определяя из уравнения (35.9) с нужной степенью точности
мы затем спомощью формул (35.8) можем найти с той же степенью точности малые решения приближенного уравнения разветвления (35.6), а значит, и малые решения краевой задачи (35.4) — (35.5).
Дадим, например, без обоснования асимптотику
при больших значениях
, чему соответствует асимптотика соответствующих значений
вне малой полоски, окружающей кривую разветвления.
При
, и из уравнения (35.9) находим, что
Переходя к старым переменным по формулам (35.8), получим
Точно так же при
Далее, при
(см. рис. 18) из (35.9) имеем
откуда с помощью формул (35.8) находим
при
Этим же способом можно получить асимптотику решений вблизи кривой разветвления.
Полагая в (35.9)
нетрудно прийти к выводу, что если при
то
Следовательно, при
что позволяет дать асимптотику для
при
Можно показать также, что при этом
Заметим, что полученные формулы дают возможность построить также и приближенное решение задачи (35.6). Можно показать, что в первом приближении
Подставляя вместо
его асимптотические выражения, найдем асимптотику всех решений задачи (35.6), а значит, и задачи (35.4) — (35.5).