9.6. Другой способ построения уравнения разветвления
Рассмотрим в пространстве 
раз непрерывно дифференцируемых функций 
уравнение 
и допустим, что при 
оно имеет решение 
причем
где 
непрерывны. Полагая
и учитывая, что
получим
где
Применяя к обеим частям равенства (9.29) операцию 
(см. (9.30)) и полагая
получим
Из самого перехода от системы (9.29) — (9.30) к уравнению (9.31) следует, что всякое решение системы (9.29) — (9.30) удовлетворяет уравнению (9.31). Пусть 
— пара функций, удовлетворяющая уравнению (9.31). Тогда функция
удовлетворяет системе (9.29) — (9.30).
Действительно,
Ввиду этого достаточно исследовать интегральное уравнение (9.31). Пусть 1 — собственное значение кратности 
интегрального оператора А:
— нормированные собственные функции оператора А; 
— нормированные собственные функции сопряженного оператора А. Так же, как в 
составим ядро
положим
и обозначим через 
резольвенту Фредгольма ядра 
Тогда (ср. (10.19)) получим 
Отсюда и из (9.32), следует, что
Данное уравнение (см. п. 8.5) при достаточно малых фиксированных 
имеет единственное непрерывное решение, и оно представимо в виде равномерно сходящегося ряда
с непрерывными коэффициентами 
Подставляя (9.34) в (9.33), мы получим уравнение разветвления вида (10.24) для определения возможных значений Коэффициенты решения (9.36) и коэффициенты уравнения разветвления рассматриваемой задачи вычисляются так же, как в §§ 10 и 11.
