2.6. О вещественных решениях.

Если интересоваться вещественными решениями уравнения разветвления (2.1),

когда коэффициенты и аргумент X вещественны, то возникают дополнительные трудности при определении малых решений, связанные как с определением вещественных решений определяющего уравнения (2.18), так и с выяснением областей определения решений уравнения (2.1).

Если — простой вещественный корень уравнения (2.18), то коэффициенты ряда (2.19) вещественны, ибо, как было указано, коэффициенты выражаются через путем применения лишь четырех арифметических действий. Так же обстоит дело с коэффициентами ряда (2.21), если вещественны.

Пусть коэффициенты ряда (2.21) вещественны. Тогда, если — нечетные числа, то решение (2.21) определено (и сходится) в некоторой окрестности точки Если среди чисел имеются четные, то вещественное решение (2.21) определено для

Для нахождения вещественных решений уравнения (2.1) при мы в этом уравнении заменим , на — X, после чего уравнение разветвления (2.1) примет вид

где

и повторим предыдущие рассуждения, приводящие к уравнению вида (2.21). Это обстоятельство мы всюду в дальнейшем будем иметь в виду при исследовании вещественных решений уравнения разветвления.

В качестве примера рассмотрим уравнение (2.1) с вещественными в предположении, что

Для этого примера убывающая часть диаграммы изображена на рис. 7. Отрезок порождает одно вещественное малое решение

определенное в некоторой окрестности точки

Отрезок имеет наклон Составим для него определяющее уравнение

Так как здесь то, пользуясь формулой (2.24), мы составляем и другое определяющее уравнение

которое будет использовано для построения решений при Корни уравнений (2.25) и (2.25) простые, а потому решения имеют вид

Если то корни уравнения (2.25) вещественные, а корни уравнения (2.25) мнимые. Если то имеет место обратное утверждение.

Рис. 7.

В первом случае уравнение (2.1) имеет два малых вещественных решения, соответствующие отрезку и определенные для а во втором случае — два малых вещественных решения, определенные лишь для к 0.