6.2. Малые решения уравнения разветвления и метод исключения неизвестных.

Переходя к исследованию системы при мы исключим из рассмотрения тривиальный случай, когда для всех так как в таком случае система (1.11) имеет бесчисленное множество малых решений, ибо ей удовлетворяют произвольные функции , в частности, непрерывные функции такие, что Ввиду этого мы допустим, что

где Рассмотрим систему

Так как (6.5) представляет собою уравнение разветвления, то для имеем

Путем неособого линейного преобразования (см. п. 3.4)

и подготовительной теоремы Вейерштрасса мы приведем систему (6.5) к нормальному виду относительно (см. п. 3.2):

При этом системы (6.5) и (6.50 эквивалентны относительно малых решений, т. е. каждое малое решение системы (6.50 приводит при помощи преобразования (6.6) к малому решению системы (6.5), и наоборот.

Для нахождения малых решений системы (6.50 мы воспользуемся методом исключения неизвестных. Обозначим через ОНД многочленов , так что

Методом Кронекера мы исключим из системы

неизвестное При этом, как мы видели в предыдущем пункте, получим систему

где — аналитические функции в начале координат, обращающиеся в нуль в начале координат. Так как нас интересуют малые решения последней системы, то каждое уравнение этой системы мы сократим на максимальную допустимую степень X. Получим тогда систему

Допустим что все функции Ф обращаются в нуль в начале координат. Тогда к функциям мы вновь применим неособое линейное преобразование неизвестных

и подготовительную теорему Вейерштрасса. При этом относительно малых решений система (6.7) будет эквивалентна системе

— отмеченные многочлены относительно. Обозначим через ОНД многочленов и продолжим указанный процесс.

Замечание 6.1. Если хоть одна функций Ф отлична от нуля в начале координат, то система (6.7) не будет иметь малых решений, а потому, согласно лемме

6.1, при выполнении условия

и система (6.5) не будет иметь малых решений. Для того чтобы в этом случае можно было продолжить описываемый процесс, мы введем отмеченные многочлены нулевой степени. При таком условии, если многочлен не обращается в нуль в начале координат, то система (6.52) не имеет малых решений (ибо ) и наибольший общий делитель многочленов также ассоциирован с единицей. Таким обраэом, если система (6.7) не имеет малых решений, то система (6.52) также не имеет малых решений и Более того, при продолжении описываемого нами процесса исключения, который, в отличие от кронекеровского процесса исключения, на каждом шаге связан с переходом к новым неизвестным при помощи неособого линейного преобразования и применением затем подготовительной теоремы Вейерштрасса, мы в этом случае будем получать новые системы вида которые не будут иметь малых решений и для всех Ввиду этого, как увидим, для

окончательных выводов нет надобности рассматривать отдельно два случая: когда все обращаются в нуль в начале координат или когда хотя бы одна из этих функций не обращается в нуль в начале координат.

Учитывая данное замечание и продолжая процесс, мы получим системы уравнений вида

где — отмеченные многочлены относительно первого аргумента (положительной или нулевой степени), и многочлены каждый из которых либо является отмеченным многочленом, либо ассоциирован с единицей При этом неизвестные связаны соотношением

где — неособое линейное преобразование. Отметим еще, что для нахождения многочленов используется алгоритм, изложенный в п. 4.3.