Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
19.1. Особые периодические решения неавтономных систем.
Рассмотрим неавтономную систему дифференциальных уравнений
в предположении, что неизвестный вектор при каждом фиксированном значении принадлежит вещественному или комплексному -мерному пространству , А — вещественная постоянная матрица, заданный вектор является непрерывным и -периодическим по , а заданная вектор-функция удовлетворяет следующему
условию:
где непрерывны по совокупности аргументов, -периодичны по и голоморфны по в некоторой окрестности нуля комплексной плоскости.
Пусть — класс -периодических по вектор-функций каждая из которых представима в виде
где — положительное рациональное число и вектор-функция непрерывна по совокупности аргументов
В классе мы введем норму, полагая, что при О
Решение системы (19.1) называется особым, если
Мы будем искать особые решения, принадлежащие классу и имеющие при порядок роста меньший чем Вопрос об особых решениях с другим ростом мы здесь рассматривать не будем.
Сделаем подстановку (см. (14.2))
и рассмотрим случай, когда
Тогда система (19.1) примет вид
причем компоненты вектора будут удовлетворять тем же условиям, что и
Легко устанавливается взаимно однозначное соответствие между совокупностью малых -периодических решений системы (19.6) и совокупностью всех -периодических решений (указанного вида и роста) системы (19.1). Поэтому для нахождения особых решений (указанного вида и роста) системы (19.1) достаточно найти все малые -периодические решения системы (19.6) и выделить те из них, у которых .
Замечание 19.1. Если условие (19.5) нарушается, то вместо системы (19.6) получим
где обладает теми же свойствами, что и , а
причем непрерывны и -периодичны по Так как порождающая система для (19.7) является нелинейной, то путем перехода к уравнению в вариациях можно свести исследование к рассмотренному случаю.
при каждом фиксированном значении 
принадлежит вещественному или комплексному 
-мерному пространству 
, А — вещественная постоянная матрица, заданный вектор 
является непрерывным и 
-периодическим по 
, а заданная вектор-функция 
удовлетворяет следующему
непрерывны по совокупности аргументов, 
-периодичны по 
и голоморфны по 
в некоторой окрестности нуля 
комплексной плоскости.
— класс 
-периодических по 
вектор-функций 
каждая из которых представима в виде
— положительное рациональное число и вектор-функция 
непрерывна по совокупности аргументов 
мы введем норму, полагая, что при 
О
системы (19.1) называется особым, если
и имеющие при 
порядок роста меньший чем 
Вопрос об особых решениях с другим ростом мы здесь рассматривать не будем.
будут удовлетворять тем же условиям, что и 
-периодических решений системы (19.6) и совокупностью всех 
-периодических решений (указанного вида и роста) системы (19.1). Поэтому для нахождения особых решений (указанного вида и роста) системы (19.1) достаточно найти все малые 
-периодические решения 
системы (19.6) и выделить те из них, у которых 
.
обладает теми же свойствами, что и 
, а
непрерывны и 
-периодичны по 
Так как порождающая система для (19.7) является нелинейной, то путем перехода к уравнению в вариациях можно свести исследование к рассмотренному случаю.
