28.3. Аналитический случай.

Следующие понятия обобщают на сингулярный случай соответствующие понятия, введенные А. М. Ляпуновым и Э. Шмидтом (см. главу III).

Пусть — неотрицательные целые числа, и пусть функции определены на и удовлетворяют там условию Гёльдера по Интегро-степенным сингулярным членом порядка относительно функции назовем выражение

где .

Сумма конечного числа интегро-степенных сингулярных членов порядка I называется интегро-степенной сингулярной формой порядка I и обозначается через

Лемма. есть степенной оператор порядка I в

Доказательство следует из свойств степенной функции, если принять во внимание также следующее соображение: если и то и для любого натруального причем справедливы неравенства

в этих неравенств и свойства сингулярного интегрального

оператора (28.1) переводить функции из На в функции из и следует ограниченность т. е. неравенство

Положим, как обычно,

Очевидно, имеем

Интегро-степенным сингулярным рядом называется ряд вида причем от х не зависит и по является функцией из

Предположим, что сходится числовой ряд , тогда ряд сходится абсолютно и равномерно Рассмотрим, далее, двойной ряд: степенной по к и интегро-степенной сингулярный по

где к — комплексный числовой параметр.

Пусть сходится числовой ряд

тогда ряд сходится абсолютно и равномерно.

Вернемся к уравнению (28.5). Предположим, что найдутся положительные числа такие, что при левая часть уравнения (28.5) представима двойным рядом (28.7), причем мажорантный числовой

ряд (28.8) сходится. Пусть, кроме того,

где

В этих предположениях к уравнению (28.5) также применима изложенная выше теория, причем если то можно воспользоваться результатами §§ 23—25.

Если же , то при верна теорема

27.1 (и замечание к ней), при верна теорема 27.2 (и замечание к ней), наконец, при задача приводится к аналитическому уравнению разветвления в форме (27.11), для исследования которого следует воспользоваться теорией, изложенной в §§ 3—6.

Приведем в заключение еще один пример — сингулярное интегральное уравнение в пространствах суммируемых функций. Не стремясь рассмотреть самый общий случай, мы хотим лишь проиллюстрировать, каким образом рассматриваемый класс уравнений вкладывается в рамки изложенной общей теории.