9.5. Другие виды интегро-дифференциальных уравнений.

Здесь мы рассмотрим некоторые интегро-дифференциальные уравнения, отличные от уравнения (9.18). Сначала заметим, что интегро-дифференциальное уравнение второго порядка следующего вида:

где

ядра и ядра, входящие в дважды непрерывно дифференцируемы по исследуется так же, как уравнение (9.18), если интегро-степенной ряд, стоящий в правой части уравнения, не содержит (он может содержать лишь где — переменные интегрирования). Именно, если выполнены соответствующие условия сходимости правой части, то уравнение дважды дифференцируется по и задача отыскания его решений сводится к нахождению решений системы трех уравнений вида (9.1).

Далее, уравнение вида

где

путем интегрирования сводится к эквивалентному уравнению

которое имеет единственное решение при достаточно малых

Перейдем к более общему уравнению

где

Путем интегрирования обеих частей находим, что

Покажем, что 1 не является собственным значением оператора

Действительно, пусть — решение уравнения

Полагая тогда

получим из (9.25) последовательно

а значит, 1 не является собственным значением оператора Отсюда следует, что уравнение

(9.24), а значит и уравнение (9.23), имеет при достаточно малых фиксированных единственное решение и оно представимо в виде интегро-степенного ряда. Это решение, разумеется, зависит не только от но и от параметра .

Аналогичный вывод имеет место и для уравнения

Здесь придется дважды интегрировать обе части равенства. Поступая так же, как и при рассмотрении уравнения (9.23), мы придем к выводу, что при достаточно малых фиксированных уравнение (9.26) имеет единственное решение и оно представимо в виде интегро-степенного ряда от и (0) и

В заключение этого пункта мы рассмотрим уравнение

причем, в отличие от уравнения (9.18), интегро-степенные формы итпр могут содержать степени В том случае, когда 1 не является собственным значением оператора Т:

уравнение (9.27) можно записать в виде

Обозначив через резольвенту Фредгольма ядра мы согласно формуле (8.4) получим

Подставляя сюда значение получим простейшее уравнение (см. относительно которое при достаточно малых имеет единственное решение, и оно представимо в виде (9.23). Итак, в данном случае уравнение (9.27) сводится к уравнению (9.23).

Если 1 является -кратным собственным значением оператора Т, то при помощи леммы Шмидта мы так же, как в предыдущем случае, сведем уравнение (9.27) к уравнению вида (9.23), правая часть которого будет зависеть от параметров допустимые значения которых найдутся из уравнения разветвления (ср. пп. 8.4 и 8.5).