13.3. Двумерный случай ветвления.

Пример 13.1. Рассмотрим уравнение

где — непрерывная фупкция при Как и в примере 12.3, единица является двукратным собственным значением вещественного симметричпого ядра и этому собственному значению отвечают нормированные собственные функции

Полагая

мы сведем рассматриваемое уравнение к виду

Сравнивая данное уравнение с уравнением (10.19), находим при

Используя формулу (10.20), напишем

причем согласно формулам (10.22) имеем

Вычисляя при помощи этих коэффициентов коэффициенты уравнения разветвления, мы после сокращения на приходим к уравнению разветвления

где Данное уравнение разветвления было рассмотрено в конце где опо было приведено к регулярному (правильному) виду, а затем оно было подвергнуто дальнейшему изучению (см. пример 5.1 и формулы Было показано (см. формулы (5.41)), что рассматриваемое здесь уравнение разветвления имеет четыре малых решения, они комплексны

и расположены по степеням Следовательно, рассматриваемое интегральное уравнение имеет четыре малых решения и они представимы в виде

Числа могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов, т. е. путем подстановки в исходное интегральное уравнение и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях X. Разумеется, возможен и другой путь. Именно, коэффициенты входящие в могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов. Это даст нам и подстановка которых в (13.4) приведет ко всем четырем малым решениям исходного уравнения.

Пример 13.2. В качестве другого примера мы рассмотрим краевую задачу для следующего дифференциального уравнения эллиптического типа:

где — непрерывные функции от на единичном квадрате — малый вещественпый параметр, — вещественный параметр, А — оператор Лапласа. Ищется в классическое решение и уравнения (13.5), обращающееся в нуль на границе Будем предполагать, что — аналитическая функция от и X в начале координат, не содержащая членов ниже третьего порядка по и и X.

Так как функция Грина здесь имеет вид

то данная задача эквивалентна интегральному

уравнению

где

Характеристическими значениями интегрального оператора Г являются числа где причем — натуральные числа. Ввиду гтого, если диофантово уравнение

имеет решений, то — характеристическое число кратности оператора Г с симметричным ядром Этому характеристическому числу принадлежат нормированные собственные функции Г:

где сухь решения диофантова уравнения (13.7). Возможны следующие случаи.

1. При данном к диофантово уравнение не имеет решения, т. е. Имеем регулярный случай, а потому уравнение (13.6) имеет единственное малое решение и оно представимо в виде

причем легко находятся методом неопределенных коэффициентов.

2. Приданном к уравнепие (13.7) допускает единственное решение (например, при При таком к мы имеем одномерный случай ветвления, так что предварительно нужно воспользоваться диаграммой Ньютона, а затем воспользоваться ранее указанными методами (см. § 2, а также п. 12.2 и п. 13.2).

3. При данном к уравнение (13.7) имеет два решения (например, когда Тогда имеем двумерный случай ветвления. Если при данном уравнение (13.7) имеет

более двух решений, то имеет место многомерный случай ветвления.

Рассмотрим следующий частный случай.

Пусть — постоянные, причем . В этом случае и оператор Г имеет две собственные функции

отвечающие характеристическому числу Используя теперь формулы (11.11), мы после сокращения первого уравнения на 4,741, а второго уравнения на приходимк следующему уравнению разветвления:

Вычисления показывают, что (см. пп. 5.2 и 5.3)

Ввиду этого имеет место случай, указанный на рис. 13. Так как в данном случае каждое из уравнений (5.28) и (5.28) имеет по два вещественных корня, то система (13.8) имеет два малых вещественных решения и они представимы в виде

для , а также два малых вещественных решения такого же вида при .

Отсюда вытекает, что исходное уравнение (13.5) или уравнение (13.6) имеет при лишь два вещественных малых решения и они представимы в виде сходящихся рядов

При также имеется лишь два малых вещественных

решения и они представимы (при предварительной замене в (13.6) X на —X) в виде (13.9). Для нахождения можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов.