ГЛАВА X. Некоторые прикладные задачи

Теория ветвления решений нелинейных уравнений имеет широкое поле приложений.

В главе VIII была показана применимость этой теории к широким классам нелинейных сингулярных интегральных уравнений, а также нелинейных эллиптических краевых задач.

В главах I—VI были рассмотрены алгебраические, интегральные, интегро-дифференциальные уравнения, а также задачи о периодических решениях.

В § 13 в качестве примера были изложены результаты

А. И. Некрасова по теории волн на поверхности тяжелой жидкости.

В этой главе мы приводим примеры других задач механики и физики, иллюстрирующих изложенные в книге общие методы и результаты. Это задача о малых изгибах стержня при постоянной нагрузке (§ 34), задача о малых прогибах гибких пластин задача о колебаниях спутника в плоскости эллиптической орбиты , наконец, задача о волнах на поверхности тяжелой жидкости, когда давление периодически распределено по свободной поверхности (§ 37). Число таких примеров можно, конечно, значительно увеличить.

§ 34. О малых изгибах прямолинейного стержня под действием постоянной нагрузки

Пусть

— прогиб прямолинейного стержня единичной длины

— нагрузка,

— непрерывная и строго положительная на функция — жесткость стержня.

Для определения имеем следующую краевую задачу:

Введем вещественные банаховы пространства: пространство состоящее из дважды непрерывно дифференцируемых на [0, 1] функций удовлетворяющих граничным условиям (34.2) с нормой

и банахово пространство — пространство непрерывных на [0, 1] функций с нормой

Задачу (34.1) — (34.2) теперь можно записать в виде

где — нелинейный оператор, задаваемый на функциях из дифференциальным выражением, стоящим в левой части уравнения (34.1).

отображает окрестность в окрестность нуля пространства и аналитичен, так как в указанной окрестности

играет роль параметра, и при любых значениях Р уравнение (34.3) имеет тривиальное решение Будем разыскивать всевозможные локальные продолжения по параметру Р решения Положим и запишем уравнение (34.3) в виде (23.6):

где линейный дифференциальный оператор В задается на

функциях из выражением

а

Рассмотрим вспомогательную краевую задачу Штурма — Лиувилля:

Задача эта имеет последовательность собственных значений при к Все они положительны и просты. Обозначим через собственные функции, отвечающие собственным значениям , нормированные следующим образом:

Соответствующая неоднородная задача

имеет единственное решение если Если же то для разрешимости неоднородной задачи необходимо и достаточно, чтобы

ибо формально сопряженная к (34.6) задача совпадает с задачей (34.6). Таким образом, В есть ограниченный Ф-оператор с числом нулей или и для исследования уравнения (34.4) можно воспользоваться результатами §§ 22-24.

Если то задача (34.4) имеет единственное малое решение, а именно тривиальное. Так будет, например, если нагрузка Р достаточно мала, т. е.

где - первое собственное значение задачи Штурма — Лиувилля (34.6). Этот результат является следствием теоремы о неявных операторах 22.2.

Пусть теперь где — одно из собственных значений задачи (34.6). Задачу отыскания малых решений уравнения (34.4) согласно § 23 можно свести к эквивалентной задаче отыскания малых решений уравнения разветвления (24.2). Следуя п. 24.1, вычислим его главные коэффициенты. Из формулы (34.5) следует, что

Из этих формул и формул (24.6), учитывая равенство получаем

Таким образом, имеет место случай расположения диаграммы Ньютона, описанный в . Ее убывающая часть состоит из одного отрезка, соединяющего точки и , которому отвечает значение показателя , а определяющее уравнение

имеет простые корни:

Итак, от тривиального решения при каждом из значений ответвляется по два новых малых нетривиальных решения, определенных в полуокрестности и представимых в ней в виде сходящихся рядов по степеням (Вопросов устойчивости этих малых решений мы здесь не касаемся). Приближенно эти решения даются

формулами

Методом неопределенных коэффициентов можно найти и дальнейшие члены. Первое собственное значение называется критической силой Эйлера.

Рассмотренная задача была решена М. А. Красносельским [1] с помощью топологических методов. Аналитический метод кроме доказательства существования решений дает также конструктивный способ их нахождения. Этим же путем можно изучать задачи для систем стержней.