15.4. Описание решений в регулярном случае.

При определитель матрицы отличен от нуля и мы имеем регулярный случай. Так как то по теореме 1.2 система (15.7) имеет единственное малое решение относительно и компоненты этого решения представимы в некоторой окрестности точки в виде сходящихся рядов по целым степеням :

Числа могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов, т. е. путем подстановки (15.10) в (15.7) и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях . Подставляя затем найденные в (15.5), мы получим решение (15.4) задачи (15.3) для уравнения (15.1).

Отметим, что в данном случае решение (15.4) — (15.5) может быть найдено и непосредственно методом неопределенных коэффициентов. Именно, из (15.10) и (15.5) следует, что в рассматриваемом случае единственное решение (15.4) представимо в некоторой окрестности точки в виде сходящегося ряда целым степеням :

Подставляя (15.11) в (15.1) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , мы получим рекуррентную систему дифференциальных уравнений относительно последовательности векторов

При интегрировании дифференциального уравнения рекуррентной системы для определения вектора появятся произвольные постоянные, которые найдутся из условия -периодичности вектора где Эта рекуррентная система для определения

векторов разрешима, ибо по доказанному в регулярном случае рассматриваемая нами задача имеет единственное непрерывное решение и оно представимо в некоторой окрестности в виде сходящегося ряда (15.11).

Отметим, что часто метод неопределенных коэффициентов применяется к решению поставленной задачи об -периодических решениях уравнения (15.1) без предварительной информации о сходимости рядов (15.11). В этом случае ряды (15.11) являются формальными. Процедура определения коэффициентов та же. Правда, при таком подходе заранее нельзя гарантировать разрешимость рекуррентной системы дифференциальных уравнений относительно неизвестных вектор-функций (в нерегулярном случае, т. е. в случае ветвления, рекуррентная система может оказаться и неразрешимой). Но если рекуррентная система разрешима и коэффициенты найдены, то для доказательства сходимости рядов (15.11), т. е. что формальное решение является и настоящим, строятся мажоранты.

Разумеется, в регулярном случае рекуррентная система разрешима и ряды (15.11) сходятся в некоторой окрестности точки Мы, следовательно, приходим к предложению.

Теорема 15.1. В регулярном случае всякое формальное решение поставленной задачи о периодических решениях уравнения (15.1) является и настоящим.

Позже мы покажем, что в нерегулярном случае возможны формальные решения, которые не являются настоящими (см. пример в