19.2. Ветвление периодических решений в банаховых пространствах

Пусть Е — банахово пространство (комплексное или вещественное), — вещественная ось, А — комплексная плоскость (или вещественная ось). Пусть, далее, — функции со значениями в Е, определенные в некоторой открытой области изменения аргументов . Будем предполагать, что функции в их области определения непрерывны по совокупности аргументов, ограничены, -периодичны по и являются аналитическими по совокупности .

Рассмотрим уравнение

Из перечисленных условий вытекает (см., например, Дьедонне что при всяком фиксированном , задача Коши

имеет единственное непрерывное решение в некоторой окрестности точки (и оно непрерывно по )

Пусть порождающее уравнение

имеет -периодическое решение Ставится задача о нахождении всех -периодических решений уравнения (19.9), непрерывных по и К и обращающихся в при

Следуя идее Пуанкаре, рассмотрим для уравнения (19.9) начальную задачу

где — решение этой начальной задачи.

Оказывается, что для этого решения справедлива Теорема 19.1. Решение представимо в виде

где суть -линейные операторы, и -степенной ряд сходится абсолютно при достаточно малых значениях

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что так как путем замены рассматриваемая нами задача сводится к такому

случаю. Далее, согласно условию и допущению имеем

причем (см. Хилле и Филлипс [1], теорема 26.6.6) эти ряды сходятся абсолютно в некоторой окрестности точки

Будем искать решение задачи в виде (19.12), рассматривая пока ряд для как формальный. Подставляя (19.12) в (19.9) с учетом (19.13) и равенства мы, после сравнения коэффициентов при одинаковых одночленах относительно получим рекуррентную систему дифференциальных уравнений

где представляют собою сумму и произведение конечного числа полилинейных операторов и ем

Эту рекуррентную систему линейных дифференциальных уравнений нужно решить с учетом начального условия (19.11), принимающего вид

Здесь I — единичный оператор из — нуль пространства -линейных операторов.

Так как операторы ограничены, то начальная задача для рекуррентной системы линейных дифференциальных уравнений имеет единственное решение. Мы получаем формальное решение вида (19.12).

Для доказательства абсолютной сходимости ряда (19.12), т. е. что найденное формальное решение является настоящим, мы воспользуемся методом мажорант. Как и в классическом случае (Гурса [3]), вещественную функцию вещественного аргумента мы назовем преобладающей относительно абстрактной функции со значениями в некотором банаховом пространстве, если для всех рассматриваемого промежутка

Лемма 19.1. Пусть выполнены условия:

1. А (t) — ограниченный оператор, действующий в некотором банаховом пространстве, непрерывный по в равномерной топологии, и — непрерывный по вектор этого пространства.

2. Непрерывные функции являются соответственно преобладающими для и f (t).

3. — решение начальной задачи

— решение начальной задачи

Тогда является преобладающей функцией для .

Доказательство данной леммы получается методом последовательных приближений, как и в классическом случае (см., например, Гурса [3]). Этой леммой мы и воспользуемся.

В силу абсолютной сходимости рядов (19.13) существуют преобладающие функции и ум соответственно для такие, что суммы в следующем ниже выражении (19.9) непрерывны.

Рассмотрим для уравнения

начальную задачу

где — решение зтой задачи.

Согласно теореме Пуанкаре (см., например, Лефшец [2]) при достаточно малых это решение представимо в виде сходящегося ряда

Подставляя (19.12) в (19.19) и сравнивая коэффициенты при одинаковых одночленах мы получим рекуррентную систему линейных дифференциальных уравнений, которая отличается от системы (19.14) тем, что соответственно заменены и преобладающими функциями . В силу леммы 19.1 мы тогда получаем, что

Ввиду этого абсолютная сходимость ряда (19.12) следует из сходимости ряда (19.12). Отметим, что из леммы 19.1 следует, что и

Теорема 19.1 доказана.

Для того чтобы решение (19.12) было -периодическим, необходимо и достаточно, чтобы

Полагая

получим

Решение поставленной задачи сводится, следовательно, к нахождению всех малых решений уравнения (19.16). Это уравнение будет исследовано в главе VII в предположении нормальной разрешимости оператора В. Если — вполне непрерывный оператор, для которого 1 является -кратным собственным значением, то В — нормально разрешимый оператор нулевого индекса и размерность его подпространства нулей равна . В этом случае, как будет показано в следующей главе (см. п. 23.5), для нахождения всех малых решений уравнения (19.16) будет выведено уравнение разветвления

которое было нами исследовано в §§ 2,6. Использование результатов этих параграфов приводит к различным предложениям о числе и виде всех решений поставленной задачи для уравнения (19.9).

Отметим, что к уравнению (19.9) могут быть сведены различные классы интегро-дифференциальных уравнений, а также счетные системы обыкновенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.