7.4. Сжатость оператора Ляпунова—Шмидта.

Рассмотрим оператор Ляпунова — Шмидта

в предположении, что ряд, стоящий справа, сходится регулярно, когда

Пусть Тогда

причем функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные для Далее,

откуда по формуле Тейлора имеем

где

Аналогично, если то получим

Напишем теперь, что

где пробегает конечное число значений (можно считать, что это число не больше числа различных типов интегро-степенных членов степени по и и степени по и

Так как

и

то

Отсюда и из предыдущего имеем

а значит,

или

Так как то по формуле Лагранжа имеем Отсюда и из предыдущего следует, что

Из неравенств (7.7) и (7.8) вытекает следующее предложение.

Теорема 7.2. Существует положительное число такое, что если то оператор Ляпунова — Шмидта удовлетворяет неравенствам

где и число т. е. оператор при достаточно малых преобразует шар пространства ограниченных измеримых функций (или пространства непрерывных функций) в себя, и в этом шаре он является сжимающим.

Для дальнейшего мы приведем принцип сжатых отображений.

Теорема 7.3. Пусть в шаре банахова пространства задан оператор преобразующий в и удовлетворяющий условию

Тогда уравнение

имеет в единственное решение х, которое может быть найдено методом последовательных приближений

исходя из любого начального приближения причем