§ 37. Об одном виде установившихся волн

Здесь мы рассмотрим задачу об установившихся волнах конечной амплитуды, вызванных давлением, периодически распределенным по поверхности потока тяжелой жидкости бесконечной глубины (см. Я. И. Секерж-Зенькович [1]).

37.1. Постановка задачи и вывод основного интегрального уравнения.

Рассмотрим плоскопараллельное установившееся движение идеальной несжимаемой тяжелой жидкости, ограниченной только сверху свободной поверхностью, на которой давление равно некоторой заданной функции Предположим, что поток движется слева направо с постоянной скоростью с на бесконечной глубине, а давление является периодической функцией горизонтальной координаты х.

Так как на поверхности давление является периодической функцией х, то поверхность принимает форму неподвижной волны.

Если мы придадим всей жидкости скорость —с, то поток на бесконечной глубине остановится, а по поверхности побежит волна со скоростью —с.

Из сказанного следует, что определение этой прогрессивной волны сводится к отысканию установившегося движения жидкости с волнообразной свободной поверхностью.

Предположим, что искомая волна и давление симметричны относительно вертикали гребня.

Пусть ось совпадает с осью симметрии и направлена вертикально вверх. За начало координат О примем точку пересечения оси со свободной поверхностью, а ось направим вправо. Плоскость течения примем за плоскость комплексного переменного

Введем обычные обозначения: — потенциал скоростей, — функция тока, — комплексный потенциал скоростей, и — проекции вектора скорости на оси координат. Тогда имеем

Для нахождения формы волны мы сначала отобразим конформно область, занятую одной волной и представляющую собою бесконечную вертикальную полуполосу, ограниченную сверху волнообразной кривой, на полуполосу

а затем эту полуполосу — на внутренность единичного круга с центром в нуле плоскости При этом предполагается, что длина волны совпадает с периодом функции

Как известно, последнее отображение задается формулой

причем профиль волны перейдет в окружность единичного круга с разрезом вдоль радиуса

Отображение области одной волны на круг определяется путем интеграции уравнения

где

Коэффициенты вещественны, так как волна симметрич на относительно оси и ибо скорость потока в бесконечности направлена по оси и равна с.

Используя интеграл Бернулли, мы из формул (37.3) и (37.4), учитывая, что на поверхности давлениер находим, что

где — плотность, — ускорение силы тяжести, — модуль вектора скорости

Как обычно, путем введения функции

мы в силу формул (37.2) и (37.3) находим

Отсюда следует, что всюду в потоке функция Ф представляет собою угол, образуемый вектором осью причем

Из (37.6) и (37.3) находим, что при

Отсюда и в силу (37.8) мы из уравнения (37.5) имеем

или, после интеграции,

где постоянное интегрирование

Из (37.9) имеем

Данное равенство дает связь между функциями и на окружности

Так как функция симметрична относительно вещественной оси, то Отсюда вытекает справедливость известного соотношения Дини:

В этом соотношении мы опустили произвольное постоянное, так как касательная в вершине гребня горизонтальна, т. е.

Из (37.11) и (37.12) имеем окончательно

Это и есть интегральное уравнение задачи.

Из данного уравнения, в частности, при получается известное уравнение Некрасова (13.12). В отличие от уравнения Некрасова, уравнение (37.13) не является однородным, так как функция ему не удовлетворяет.

При изучении уравнения (37.13) мы ограничимся следующим частным случаем. Мы будем предполагать, что

где — малый положительный безразмерный параметр, — заданные числа, причем ряд сходится в круге радиуса

Заметим, что в исходной задаче предполагалось, что — заданная периодическая функция от х.

Можно, однако, показать (см. Я. И. Секерж-Зенькович [1]), что решение изучаемой задачи при условии (37.14) приводит к следующей формуле:

где

При этом либо коэффициенты можно считать заданными и по ним определить либо наоборот; определяются через

Преобразуем равенство (37.10). На окружности функция является четной, а функция нечетной. Ввиду этого имеем

ибо (см. (37.4) и (37.6)), откуда

Отсюда (37. 10) принимает вид

При этом, если то все , следовательно,

где с фиксированы.

Для дальнейшего положим

Заметим, что задание определяет скорость в вершине гребня (см. (37.8) и (37.10)).