8.2. Регулярный случай при наличии многих аргументов.

Для изучения случая ветвления, т. е. когда единица является собственным значением интегрального оператора (8.3), мы предварительно рассмотрим здесь нелинейное интегральное уравнение

где А — линейный интегральный оператор с ядром и

в предположении, что и все ядра, определяющие интегро-степенные формы, являются комплекснозначными или вещественными, а ряд, стоящий справа в (8.6), сходится равномерно или регулярно.

Пусть единица не является собственным значением оператора А. Тогда, так же как в предыдущем пункте, найдем, что уравнение (8.6) эквивалентно уравнению

где

— резольвента Фредгольма ядра Так как уравнение (8.7) принципиально не отличается от уравнения (7.32), имеющего единственное решение вида (7.33), то справедлива

Теорема 8.1. При достаточно малых значениях уравнение (8.6) имеет в классе непрерывных функций единственное решение, и оно представимо в виде

причем этот ряд сходится равномерно, если правая часть равенства (8.6) сходится равномерно, или регулярно, когда правая часть (8.6) сходится регулярно.

Замечание 8.1. Разумеется, теорема 8.1 сохраняется, когда некоторые из или все — числовые параметры. В последнем случае правая часть последнего

равенства представляет собою степенной ряд, порядок которого не ниже единицы.