9.4. Некоторые нелинейные интегро-дифференциальные уравнения первого порядка.
Здесь мы рассмотрим интегро-дифференциальные уравнения, которые сводятся к системам нелинейных интегральных уравнений Ляпунова — Шмидта,
Пусть 
пространство непрерывно дифференцируемых функций, 
заданная функция этого пространства и и 
неизвестная функция этого пространства. Положим
и рассмотрим уравнение
где
Мы будем предполагать, что выполнены условия:
1. Правая часть равенства (9.18) сходится регулярно, когда
причем
где (см. n. 7.1) 
.
2. Все ядра непрерывны по совокупности аргументов и имеют по 
производные первого порядка
непрерывные по совокупности аргументов.
3. Имеет место неравенство
где
В силу условия (9.19) правую часть (9.18) можно почленно дифференцировать, так что из (9.18) мы находим, что
где
Из (9.19) и (9.20) следует регулярная сходимость правой части равенства (9.21), ибо из (9.19) мы находим, что
если 
то сходится ряд
Рассмотрим теперь систему
отличающуюся от системы равенств (9.18) и (9.21) лишь тем, что 
заменено на 
Данная система (9.22) удовлетворяет тем же условиям, что и система (9.1). Ввиду этого все предложения, установленные для системы (9.1) в предыдущих пунктах данного параграфа, сохраняются и для системы (9.22).
Пусть и 
— какое-нибудь решение системы (9.22), полученное при достаточно малых 
Покажем, что
откуда будет следовать, что и 
— решение уравнения (9.18) при достаточно малых 
Действительно, дифференцируя по 
первое равенство системы (9.22) и учитывая выражения для
и
мы получим выражение, вычитание из которого второго
равенства системы (9.22) даст
Так как при достаточно малых 
малы 
то абсолютное значение суммы, стоящей в правой части последнего равенства, можно считать меньше единицы. Ввиду этого последнее равенство возможно лишь тогда, когда 
Этим доказано наше утверждение. Из данного утверждения вытекает, что регулярный случай и случай ветвления для интегро-дифференциального уравнения (9.18) сводятся к соответствующим случаям, изученным для системы (9.1) в пп. 9.2 и 9.3.
Отметим, что если в уравнении 
то в системе (9.22) будут отсутствовать последние слагаемые в левых частях равенств этой системы. Вопрос о том, имеем ли мы в этом частном виде уравнения (9.18) регулярный случай или случай ветвления, решается проще: если 1 не является собственным значением оператора 
то имеем регулярный случай, а если 1 — собственное значение оператора 
то имеем случай ветвления.
