24.7 Случай функционального параметра. Ряды по однородным операторам.

Вернемся к уравнению (23.3) для случая функционального параметра у в предположении аналитичности оператора и фредгольмовости оператора с числом нулей . В рассматриваемом случае уравнение (23.3) можно записать в виде

где — степенные ограниченные операторы порядка по х и порядка по у. Нам понадобятся следующие вспомогательные определения и факты.

Оператор с областью определения в банаховом пространстве областью значений в банаховом пространстве назовем однородным с показателем однородности а, если

1) вместе с содержит для любого

Мы будем пользоваться лишь однородными операторами где — натуральные числа. Введем в рассмотрение ряды по однородным операторам. Пусть — последовательность однородных операторов, и пусть пусто. Назовем ряд

сходящимся в точке , если при

Из этого определения следует, что если ряд (24.16) сходится в точке у, то существует постоянная такая, что

Область сходимости ряда (24.16) звездна относительно точки т. е. вместе с у содержит при . Доказательство следует из оценки

при

Следующая лемма устанавливает единственность разложения в ряд по однородным операторам.

Лемма 24.2. Пусть для всех у из области сходимости этого ряда Тогда для всех

Доказательство. Фиксируем Для любого имеем

Пусть — произвольный функционал из Имеем

Положив из единственности разложения в обычный степенной ряд получим

В силу произвольности имеем

Лемма доказана.

Перейдем теперь к разысканию малых решений уравнения (24.15). Для этой цели мы воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Предположим, что Как и при доказательстве теоремы 24.2, получим, что уравнение разветвления (23.23) имеет ровно два малых решения (достаточно рассмотреть это уравнение на каждом луче Пусть сначала параметр лежит в многообразии, задаваемом неравенством

Будем искать малые решения уравнения (24.15) в виде ряда по однородным операторам

После подстановки (24.18) в (24.15), приравнивая на основании леммы 24.2 однородные операторы одинаковых порядков, получим рекуррентную систему для определения операторов (у):

где — однородные операторы порядка

Из первого уравнения системы (24.19) находим

где — неизвестный пока однородный функционал порядка 1/2. Подставив найденное значение в правую часть второго уравнения системы (24.19), запишем условие разрешимости этого уравнения:

Это уравнение имеет двузначное решение вида

Фиксируя одну из ветвей этой функции, из второго урав нения системы (24.19) найдем

где — однородный функционал порядка 1, также подлежащий определению, мы находим по однозначно из условия разрешимости третьего уравнения системы (24.19) и т. д. Методом математической индукции устанавливается, что этим путем мы построим два решения уравнения (24.15) вида (24.18).

Теперь пусть у принадлежит многообразию

Малые решения уравнения (24.15) будем искать в виде следующего ряда:

Подстановка (24.21) в (24.15) приводит к системе

Из первого уравнения этой системы находим

где — пока неизвестный однородный функционал первого порядка по у. Правая часть второго уравнения системы (24.22) после подстановки в нее найденного значения

принимает вид

и условие разрешимости этого уравнения можно записать (используя коэффициенты уравнения (23.23)) так:

где

Потребуем, чтобы у принадлежало пересечению многообразия (24.20) и многообразия

и пусть это пересечение не пусто. Тогда уравнение (24.23 имеет двузначное решение вида

Тем самым определены две ветви . По каждой из них, как можно показать методом математической индукции, однозначно определяются Заметим, что сходимость полученных рядов (24.18) и (24.21) следует из метода диаграммы Ньютона, для чего достаточно рассмотреть уравнение (24.15) на каждом луче

Этими простыми примерами мы и ограничимся. Подобные результаты имеются в работах В. А. Треногина [2—4] (где не обязательной которым мы и следовали в изложении настоящего пункта. Для случая числового параметра метод неопределенных коэффициентов подробно изучен К. Т. Ахмедовым [1—3].