7.8. Простейшее уравнение в случае равномерной сходимости.

При изучении простейшего уравнения (7.10) мы в предполагали, что его правая часть сходится регулярно. Оказывается, если правая часть уравнения (7.10) сходится равномерно, то при достаточно малых оно имеет в классе непрерывных функций единственное малое решение и оно представимо в виде интегро-степенного ряда (7.11). Правда, в этом случае можно лишь гарантировать равномерную сходимость ряда (7.11). Рассмотрим вновь оператор Ляпунова — Шмидта

и допустим, что ряд, стоящий справа, сходится равномерно для всяких непрерывных вещественных или комплексных и и удовлетворяющих условиям

Из равномерной сходимости следует равномерная ограниченность при т. е. Далее, при фиксированных и функция

голоморфна по в бицилиндре и непрерывна при Так как

то согласпо неравенствам Коши для коэффициентов (см., например, Б. А. Фукс [1], стр. 62) имеем

Таким образом,

где — сумма двойного степенного ряда, сходящегося при причем

Следовательно, функция обладает такими же свойствами, как функция а потому и в данном случае справедливо неравенство (7.7).

Покажем справедливость неравенства вида (7.8). С этой целью мы предварительно покажем, что оператор имеет по и линейный дифференциал . Пусть С — пространство непрерывных функций на и — произвольный фиксированный вектор из С, удовлетворяющий условию — произвольный единичный вектор из С, т. е. — произвольное вещественное число, удовлетворяющее условию . В силу равномерной сходимости ряда, определяющего имеем

где

является линейным (относительно ограниченным оператором как сумма конечного числа ограниченных линейных операторов, причем норма Равномерно ограничена относительно и и если Используя теперь известные теоремы о сходимости последовательности линейных операторов (см., например, Канторович и Г. П. Акилов [1], стр. 229—233), мы находим, что

где — линейный ограниченный оператор, и если

При этом и можно показать, что функция непрерывна в нуле. Отсюда согласно известному предложению . Вайнберг [1], лемма 3.3) имеем

Отсюда (так же как в мы приходим к выводу, что теорема 7.2 сохраняется и в данном случае. Отметим, что другое доказательство неравенства (7.8) фактически содержится в книге Лихтенштейна [1]. Поступая теперь, как и в п. 7.5, мы придем к выводу, что теорема 7.4 сохраняется, если потребовать лишь равномерной сходимости правой части (7.10). При этом единственное решение уравнения (7.10) представимо в виде равномерно сходящегося ряда (7.11).