32.5. Метод неопределенных коэффициентов.

В предыдущих пунктах было показано, что при достаточно общих предположениях собственные значения и собственные элементы возмущенного оператора представимы сходящимися рядами по целым или дробным степеням малого параметра е. В этих случаях для практического нахождения собственных значений и собственных элементов

удобно также пользоваться методом неопределенных коэффициентов. Применение этого метода базируется на некоторых элементарных соображениях.

Введем при ( — натуральные числа) многочлены от комплексных переменных как коэффициенты в формальном разложении

Очевидно, имеем

Из определения многочленов следуют формулы

и более общая формула

где некоторые многочлены, и для нас существенно лишь то, что они не зависят от

Лемма 32.1. Справедлива формула сложения

Доказательство. Перепишем искомую формулу так (см. (32.23)):

Из формулы (32.21) имеем тождество

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим формулу (32.25). Лемма доказана.

Для иллюстрации применения метода неопределенных коэффициентов мы рассмотрим характерный случай условий теоремы 32.4, где . Согласно теореме 32.4 следует искать в виде

Для определенности нормируем так: Следовательно, имеем

Мы уже знаем, что ряды (32.26) сходятся при всех достаточно малых и наша цель — дать метод, позволяющий определить все коэффициенты у. и Подставляя выражения (32.26) в (32.3), получим, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях следующую рекуррентную систему для разыскания и

Входящие в формулу числа определяются так: число единственным образом можно представить в виде где — остаток от деления на

Из первого уравнения системы (32.28) находим, пользуясь первым условием (32.28),

Второе уравнение той же системы разрешимо, так как его правая часть равна ортогональна так как по предположению Из этого уравнения находим единственное ортогональное к у (см. (32.27))

решение

Докажем методом математической индукции, что первые уравнений системы (32.28) разрешимы и что

Эта формула при верна, так как согласно

Пусть первые уравнений системы (32.28) разрешимы, и пусть формула (32.29) верна при Докажем, что тогда уравнение системы (32.28) также разрешимо и формула (32.29) верна при Преобразуем правую часть уравнения, для чего воспользуемся предположениями индукции, правилом перестановки порядка суммирования в двойной сумме и, наконец, формулой (32.25):

Отсюда, согласно определению жордановой цепочки, видно, что уравнение также разрешимо и, кроме того, что формула (32.29) верна и при Рассмотрим теперь уравнение:

Из условия разрешимости этого уравнения, учитывая, что (см. (32.23)), имеем

Из этого уравнения находим различных значений Подставляя каждое из них в выражение для найдем различных значений коэффициента Фиксируем любое из найденных значений и покажем, что остальные коэффициенты определяются по однозначно.

Из (32.30) находим

Правая часть уравнения системы (32.28), как легко подсчитать, равна

где

Условие разрешимости уравнения приводит поэтому к равенству

откуда единственным образом определяем что в свою очередь дает возможность из третьего уравнения (32.28) окончательно определить

Пусть определены и пусть первые к уравнений системы (32.28) разрешимы, причем

где при при зависят лишь от

Покажем, что из условия разрешимости уравнения определяется по однозначно и формула (32.31) справедлива и при . Тем самым будет установлена возможность определения всех

коэффициентов и справедливость (32.31) при любом

Преобразуем правую часть уравнения системы (32.28), как мы это делали выше, при

Заметим, что при зависят самое большее от к аргументов которые уже известны по предположению индукции.

Обозначим через следующую известную величину:

Теперь условие разрешимости уравнения дает согласно (32.24)

откуда определяется однозначно.

Далее, из разрешимого уравнения находим, что также определяется формулой (32.31). Доказательство закончено.