§ 16. Периодические решения квазилинейных систем

Для квазилинейных неавтономных систем задача Пуанкаре о периодических решениях достаточно изучена, когда для порождающего уравнения имеет место нерезонансный случай (см., например, И. Г. Малкин [1]). Мы покажем, что методы теории ветвления позволяют изучить эту задачу и в резонансном случае.

В отличие от предыдущего параграфа, в котором предполагалось, что задано -периодическое решение порождающего уравнения (15.2), здесь решение легко находится. Другое отличие от предыдущего параграфа заключается в том, что здесь становятся более прозрачными как вывод уравнения разветвления, так и вид этого уравнения.

16.1. Постановка задачи.

Пусть в уравнении (15.1) вектор-функция , где А — постоянная вещественная матрица и — периодическая вектор-функция периода . Тогда уравнение (15.1) принимает вид

где по-прежнему вектор

Пусть -периодическое решение порождающей системы

Решение находится следующим образом.

Рассмотрим характеристическое уравнение

где — единичная матрица, и обозначим через число групп решений (см. И. Г. Малкин [1], гл. II, § 1) уравнения

порождаемых нулевым корнем уравнения (16.3).

Пусть к, — число групп решений уравнения (16.4), порождаемых корнями

характеристического уравнения (16.3), и

Тогда (см. И. Г. Малкин [1], гл. II, § 4) система (16.4) допускает и только линейно независимых -периодических решений

и сопряженная с (16.4) система также допускает линейно независимых -периодических решений

Для того чтобы система (16.2) допускала -периодические решения, необходимо и достаточно (см. И. Г. Малкин [1], стр. 109), чтобы вектор-функция удовлетворяла условиям

Мы будем предполагать, что это условие выполнено. Тогда (см. И. Г. Малкин [1], гл. II, §4) уравнение (16.2) имеет -параметрическое семейство

-периодических решений.

Выберем в качестве одно из решений этого семейства и сформулируем следующую задачу.

Задача Найти при достаточно малых все непрерывные и -периодические решения системы (16.1), удовлетворяющие условию