17.3. Основные выводы.

При (регулярный случай) система (17.11) отсутствует, и по теореме 1.2 о неявных функциях система (17.9) имеет единственное решение

Это решение является малым, и в некоторой окрестности точки оно разлагается в сходящийся степенной ряд

Числа находятся методом неопределенных коэффициентов, т. е. путем подстановки и в (47.9). Таким образом, в регулярном случае (при задача имеет единственное решение, являющееся аналитическим.

Отметим, что регулярный случай достаточно изучен(см., например, Коддингтон и Левинсон [1], гл. 14, §2). При задача мало изучена.

При система (17.11) представляет собою одно уравнение, имеющее вид (12.4), и мы имеем одномерный случай ветвления, для которого справедливы аналоги теорем 15.2 и 15.3.

Теорема 17.1. Если все коэффициенты одномерного уравнения разветвления равны нулю, то задача имеет однопараметрическое семейство решений.

В квазирегулярном случае (когда не все коэффициенты одномерного уравнения разветвления равны нулю) нужно воспользоваться диаграммой Ньютона для определения всех малых вещественных решений уравнения (17.11), как это было сделано в п. 2.7. И здесь справедлива

Теорема 17.2. В одномерном квазирегулярном случае задача имеет конечное число решений, причем компоненты каждого решения представимы в виде сходящихся рядов по целым или дробным (с конечным общим знаменателем) степеням X.

Разумеется, если уравнение (17.11) при не имеет малых вещественных решений, то задача не имеет решений.

При мы, как и в § 6, составляем для системы (17.11) псевдомногочлены и при их помощи приходим к предложениям, аналогичным теоремам 15.5 — 15.8 Приведем одно такое предложение.

Теорема 17.3. Пусть . Тогда, если не ассоциирован с единицей, то задача имеет конечное число решений, причем компоненты каждого решения представимы для малых в виде сходящихся рядов по степеням где — некоторое натуральное число для данного решения. Все эти решения являются периодическими с периодом

Данный ряд также сходится для малых

Отметим, что при четном соответствующее решение определено лишь для Для нахождения в этом случае

решения при нужно в системе (17.1) заменить X на и повторить все вычисления.