ГЛАВА I. Системы неявных функций и классическая теория ветвления

§ 1. Задача о неявных функциях

1.1. Классические теоремы о неявных функциях.

Сначала мы приведем формулировки известных теорем о неявных функциях, доказательство которых можно найти в различных курсах математического анализа (см., например, Валле-Пуссен [1], Гурса [1, 2], Фихтенгольц [1], Немыцкий, Слудская, Черкасов [1]).

Теорема 1.1. Пусть

— вещественные непрерывные функции вещественных аргументов, обращающиеся в нуль в точке Тогда, если в некоторой окрестности V точки М функции имеют по частные производные, непрерывные в точке М, и функциональный определитель

не равен нулю в точке М, то система уравнений

имеет в некоторой окрестности точки единственное непрерывное решение

удовлетворяющее условию

Если в дополнение к условиям теоремы 1.1 потребовать существования в непрерывных частных производных от функций по всем аргументам то функции будут иметь в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные. Вообще,

если функции достаточно гладки в то функции имеют такую же гладкость в Имеет место и следующее предложение.

Теорема 1.2. Пусть в некотором шаре с центром в точке М функции разлагаются в сходящиеся ряды по степеням причем эти ряды не содержат свободных членов. Тогда, если функциональный определитель отличен от нуля в точке М, то система уравнений

имеет единственное решение удовлетворяющее условию причем в некотором шаре с центром в точке функции разлагаются в сходящиеся ряды по степеням . Заметим, что теорема 1.2 справедлива и в комплексном случае, т. е. когда — комплекснозначные функции комплексных аргументов.