21.4 Связь с сопряженным оператором.
Пока мы нигде не использовали понятия сопряженного оператора. Отметим, что в приложениях дефектные функционалы 
обычно фигурируют как решения однородного союзного или формально сопряженного уравнения и не возникает нужды в привлечении понятия сопряженного оператора. Однако привлечение этого понятия делает теорию более симметричной (см. И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн [1]).
Пусть В — оператор, сопряженный к В. Известно, что 
Теорема 21.2. Дефектные функционалы 
являются нулями оператора В и составляют базис в 
— подпространстве нулей оператора В; иными словами, 
Доказательство. Для любого 
имеем
Из произвольности х и следует, что 
и первая часть теоремы доказана.
Пусть теперь 
— произвольный нуль оператора В, т. е. 
Рассмотрим функционал
где 
удовлетворяют условиям (21.11).
Покажем, что 
для любого и 
откуда будет следовать, что 
т. е. равенство 
которое составляет утверждение второй части теоремы.
Но по (21.13) имеем представление
и, пользуясь равенствами 
и (21.11), получим
Теорема доказана.
Теорема 21.3. Если В есть Ф-оператор, то В также является Ф-оператором и при 
Доказательство. Очевидно, интересен лишь случай 
Переходя в равенстве (21.8) к сопряженным операторам, получим для любого 
Таким образом, 
где 
имеет ограниченный обратный оператор Г, ибо 
конечномерный (вполне непрерывный) оператор. По теореме 21.1 С. М. Никольского В есть, Ф-оператор, а из теоремы 21.2 следует, что 
Рассмотрим неоднородное уравнение
Имеем 
т. е. условия 
необходимы для разрешимости указанного уравнения. Но элементы 
линейно независимы и число их равнотг, поэтому они образуют базис в 
, значит, 
Теорема доказана.
Итак, однородное уравнение 
имеет общее решение
а для разрешимости неоднородного уравнения 
необходимо и достаточно, чтобы
и в этом случае его общее решение имеет вид
Из формул (21.23) и (21.11), а также из теоремы 21.2 имеем двойственные к (21.22) формулы
Из той же формулы (21.23) в сочетании с формулой (21.18) имеем
При доказательстве теоремы 21.3, в частности, было показано, что оператор (Б имеет ограниченный обратный оператор. Это утверждение является двойственным к лемме Шмидта.
