§ 28. Ветвление решений нелинейных сингулярных интегральных уравнений.

28.1. Линейные сингулярные интегральные операторы с ядром типа Коши в пространствах Гёльдера.

Приведем некоторые известные предложения (Н. И. Мусхелишвили [1], С. Г. Михлин [2], Ф. Д. Гахов [1]).

Пусть — линия, лежащая в плоскости комплексной переменной и состоящая из конечного числа гладких замкнутых контуров без общих точек. Введем - гёльдеровское пространство комплекснозначных функций определенных на и удовлетворяющих на условию Гёльдера с показателем а Введя норму

превратим в банахово пространство.

Рассмотрим линейный сингулярный интегральный оператор с ядром типа Коши

Здесь удовлетворяет условию Гёльдера с показателем а по совокупности переменных Хорошо известно, что оператор В является линейным ограниченным оператором из в

Сингулярный интегральный оператор

называется характеристическим для оператора В (или характеристической частью оператора В).

Далее, оператор

называется союзным к оператору В. В также является линейным ограниченным оператором из в Оператор

очевидно, является союзным к характеристическому оператору.

Предположим, что всюду на выполнено условие: тогда имеют место следующие теоремы Ф. Нетера.

Теорема 28.1. Либо уравнение не имеет нетривиальных решений, либо оно имеет конечное число линейно независимых решений.

Теорема 28.2. Либо неоднородное уравнение

разрешимо при любой правой части либо для его разрешимости необходимо и достаточно, чтобы

где — полная система линейно независимых решений союзного однородного уравнения .

Из теорем 28.1 и 28.2 вытекает, что В есть нетеровский ператор (-оператор).

Для индекса оператора В доказывается следующая формула:

где выражение означает приращение функции, заключенной в скобки, при обходе линии в положительном направлении. Из формулы для индекса видно, что он зависит лишь от характеристической части оператора В. Если, в частности, , то сингулярный интегральный оператор В оказывается фредгольмовским оператором (Ф-оператором).

Отметим в заключение частный случай, когда оператор В совпадает со своим характеристическим . В этом случае -характеристика В имеет вид если если Аналогичное утверждение справедливо (с заменой на Для оператора В, являющегося союзным к характеристическому