§ 24. Исследование одномерного случая ветвления

В этом параграфе будет рассмотрена задача разыскания малых решений уравнения (23.3) (или, что то же самое, эквивалентного ему уравнения (23.6)) в предположении, что выполнены условия: 1) число нулей фредгольмобского оператора В (см. (23.5)) равно единице, 2) — малый числовой параметр, 3) — аналитический оператор в некоторой окрестности точки (0,0).

При выполнении этих условий мы будем говорить, что имеет место одномерный случай ветвления. В данном случае уравнение (23.6) мы запишем так:

а уравнение (23.24), если опустить верхний индекс у и нижний индекс примет следующий вид:

24.1. Вычисление первых коэффициентов одномерного уравнения разветвления.

Система (23.18) — (23.19) в рассматриваемом случае имеет следующий вид:

где (см. (22.7)).

Будем искать малое решение уравнения (24.3) в виде ряда

сходимость которого при достаточно малых следует из (23.21).

(кликните для просмотра скана)

Учитывая теперь, что (формула (21.24)), из полученных формул и из формулы (24.5) находим

Так же можно найти и другие коэффициенты уравнения разветвления. Как мы убедимся ниже, особенно важную роль играют коэффициенты уравнения разветвления Для их определения можно воспользоваться следующими соображениями. Введем обозначения

Полагая в (24.3) , получим

Из этого уравнения можно найти в виде ряда

Методом математической индукции легко показать справедливость следующих рекуррентных формул для

Следовательно, если известны, то