§ 24. Исследование одномерного случая ветвления
В этом параграфе будет рассмотрена задача разыскания малых решений уравнения (23.3) (или, что то же самое, эквивалентного ему уравнения (23.6)) в предположении, что выполнены условия: 1) число нулей
фредгольмобского оператора В (см. (23.5)) равно единице, 2)
— малый числовой параметр, 3)
— аналитический оператор в некоторой окрестности точки (0,0).
При выполнении этих условий мы будем говорить, что имеет место одномерный случай ветвления. В данном случае уравнение (23.6) мы запишем так:
а уравнение (23.24), если опустить верхний индекс у и нижний индекс
примет следующий вид:
24.1. Вычисление первых коэффициентов одномерного уравнения разветвления.
Система (23.18) — (23.19) в рассматриваемом случае имеет следующий вид:
где
(см. (22.7)).
Будем искать малое решение
уравнения (24.3) в виде ряда
сходимость которого при достаточно малых
следует из (23.21).

(кликните для просмотра скана)
Учитывая теперь, что
(формула (21.24)), из полученных формул и из формулы (24.5) находим
Так же можно найти и другие коэффициенты уравнения разветвления. Как мы убедимся ниже, особенно важную роль играют коэффициенты уравнения разветвления
Для их определения можно воспользоваться следующими соображениями. Введем обозначения
Полагая в (24.3)
, получим
Из этого уравнения
можно найти в виде ряда
Методом математической индукции легко показать справедливость следующих рекуррентных формул для
Следовательно, если
известны, то