7.6. Последовательные приближения Лихтенштейна.

В предыдущем пункте при доказательстве существования решения уравнения (7.10) мы в пространстве непрерывных функций С выделили шар радиуса с центром в нуле этого пространства и показали, что в этом шаре существует единственное решение уравнения (7.10) и оно представимо в виде (7.11). Таким образом, доказательство использовало ограничения малости не только функционального аргумента но и радиуса шара, в котором ищется решение. С другой стороны, Лихтенштейн [1] при доказательстве существования решения уравнения (7.10) построил последовательные приближения, использующие лишь малость . В связи с этим возникает вопрос о связи между решениями, найденными методом сжатых отображений и последовательными приближениями. Для решения этого вопроса мы сначала изложим последовательные приближения Лихтенштейна, представляющие и самостоятельный интерес. Эти приближения строятся следующим образом:

Для сходимости встречающихся здесь рядов нужно (согласно условию), чтобы не только но Покажем, что эти неравенства выполняются. Положим

и рассмотрим квадратное уравнение

корни которого положительны при достаточно малом

Наименьший из этих корней

стремится к нулю вместе с Отсюда следует существование положительного числа такого, что как только , то Имея в виду, что , мы из (7.7), (7.15) — (7.17) приходим к неравенствам

так что

Из неравенств (7.18) и (7.8) следует, что при

Ввиду этого, если потребовать, чтобы

то

а потому ряд

сходится абсолютно и равномерно, и его сумма

в силу непрерывности оператора дает решение уравнения (7.10). Из (7.18) видно, что

Более того, из равенства (7.16) и неравенства (7.19) следует, что решение принадлежит шару а потому, согласно предыдущему, оно является единственным в

Таким образом, решения, найденные методом сжатых отображений и последовательными приближениями Лихтенштейна, совпадают.