17.5. Автономные системы с одной степенью свободы.

Рассмотрим важное в приложениях уравнение

где скалярная функция является голоморфной в некоторой области изменения аргументов.

Решение начальной задачи для порождающего уравнения будет

Поставим следующую задачу.

Задача Найти все -периодические решения уравнения (17.12), удовлетворяющие условиям

При этом предполагается непрерывность .

При решении этой задачи можно без ограничения общности (см. И. Г. Малкин [1]) принять следующие начальные условия для уравнения (17.12):

Пусть — решение задачи (17.12) — (17.13). Тогда согласно теореме Пуанкаре (см., например, Коддингтон

и Левинсон [1], стр. 399, теорема 4.2)

причем этот ряд сходится в некоторой окрестности точки — аналитические функции Как мы видели (см. для того чтобы это решение было периодическим с периодом необходимо и достаточно, чтобы

Так как то отсюда и из (17.13) следует, что

В силу равенства (17.14) левые части равенств (17.5) являются аналитическими функциями от , к в точке Сокращая левые части равенств (17.15) на максимальные допустимые степени А, получим систему

Отметим, что лемма 15.1 справедлива и в данном случае, т. е. существует взаимно однозначное соответствие между всеми вещественными малыми решениями системы (17.16) и всеми решениями задачи Мы будем поэтому предполагать, что

ибо при нарушении этого условия задача не имеет решений.

Пусть — матрица Якоби в нуле от по . Если — невырожденная матрица, т. е. имеет место регулярный случай, то по теореме 1.2 о йеявных функциях система (17.16) имеет единственное решение

Это решение является малым, и в некоторой окрестности точки оно разлагается в сходящийся степенной

Числа и могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов.

Таким образом, в регулярном случае задача имеет единственное решение и оно представимо в виде сходящегося ряда

Пусть Исключая тогда из системы (17.16) одно из неизвестных , мы согласно лемме 1.1 получим уравнение разветвления

задачи где — одно из неизвестных или а. Между множеством малых вещественных решений данного уравнения и множеством всех решений задачи существует согласно предыдущему) взаимно однозначное соответствие.

В вырожденном случае (когда все коэффициенты уравнения (17.17) равны нулю) одно из неизвестных а является произвольным, так что задача имеет однопараметрическое семейство решений.

В квазирегулярном случае справедливо утверждение теоремы 17.2 о задаче В этом случае для нахождения всех малых вещественных решений уравнения (17.17) нужно воспользоваться диаграммой Ньютона (так, как это было сделано в

Изучим, наконец, тот случай, когда Из (17.14) и (17.15) следует, что такая ситуация возможна при Из равенства следует, что

система (17.16) представляет собою уравнение разветвления задачи

В тривиальном случае (когда для параметры и а произвольны, так что решение (17.14) зависит от произвольного параметра а, а период Т — от произвольного параметра .

В нетривиальном случае мы воспользуемся методами, изложенными в §§ 3, 4, 5. Сначала при помощи неособого линейного преобразования переменных

а затем при помощи подготовительной теоремы Вейерштрасса (теорема 3.3) система (17.16) приводится к нормальному виду

где — отмеченные многочлены относительно Напомним, что системы (17.17) и (17.18) эквивалентны относительно малых решений.

Составим результант относительно многочленов приравняем его нулю и сократим это равенство на максимальную допустимую степень X. Получим тогда (см. § 5)

Применяя диаграмму Ньютона и поступая так же, как в п. 5.1, мы при помощи теоремы 5.1 приходим к слудующему предложению.

Теорема 17.5. Если то задача имеет конечное число решений. Каждое из этих решений, а также соответствующий ему период представимы для малых в виде сходящихся рядов по степеням где — некоторое натуральное число. , то задача заведомо не имеет решений.

Отметим, что в условиях теоремы 17.5 задача может и не иметь вещественных решений. Это зависит от расположений убывающих участков диаграмм Ньютона и от того, какие корни имеют соответствующие определяющие уравнения.