25.6. О точках бифуркации.

В п. 12.3 было введено понятие о точках бифуркации уравнения (12.11) (см. также п. 23.1) и установлены различные предложения о точках бифуркации уравнения (12.1) в одномерном случае ветвления. Эти исследования были дополнены в п. 12.7, в котором изучалась задача о точках бифуркации уравнения (12.1) в многомерном случае ветвления. Оказывается, что все предложения, установленные в пп. 12.3 и 12.7 для уравнения (12.1), сохряняются и для уравнения (25.1). Действительно, при доказательстве предложений, содержащихся в пп. 12.3 и 12.7, мы исходили из того, что между множеством всех малых решений уравнения (12.1) и множеством всех малых решений выведенного для него уравнения разветвления существует взаимно однозначное соответствие. Исходя из этого соответствия, мы свели задачу о точках бифуркации уравнения (12.1) к такой же задаче для соответствующего ему уравнения разветвления (12.4) или (12.6). Таким образом, были установлены различные предложения о точках бифуркации уравнения (12.1). Так как согласно теореме 23.1 существует взаимно однозначное соответствие между множеством всех малых решений уравнения (25.1) и множеством всех малых решений уравнения разветвления (25.3), то и в данном случае задача о точках бифуркации для уравнения (25.1) сводится к такой же задаче для уравнения (25.3). Вот почему все предложения, установленные в пп. 12.3 и 12.7, распространяются на рассматриваемые в данном параграфе уравнения в банаховых пространствах. Приведем одно предложение (аналог теоремы 12.10), в котором мы используем

понятие бифуркационного уравнения (определение 12.1) и обозначения

Теорема 25.4 Пусть уравнение (25.3) является бифуркационным. Тогда, если отмеченный многочлен не ассоциирован с 1 при некотором то уравнение (25.1) имеет точку бифуркации При этом, если для всех не ассоциирован с единицей, то точке бифуркации заведомо соответствует конечное число нетривиальных малых решений уравнения (25.1) и каждое из них представимо в виде сходящегося ряда по целым или дробным степеням Я.

Отметим, что примером бифуркационного уравнения может служить система

для которой — натуральные числя аналитические функции в начале координат такие, что

Для данной системы имеем

где

так что

и отмеченный многочлен

не ассоциирован с единицей.

В заключение отметим, что мы не касались здесь истории вопроса. Она освещена в работе М. М. Вайнберга и П. Г. Айзенгендлера [1].