12.2. Описание решении в одномерном случае ветвления.

Здесь мы дадим описание малых решений нелинейных интегральных уравнений вида (12.1) с числовым параметром когда уравнение разветвления одномерно, т. е. имеет вид (12.4).

Если все коэффициенты уравнения разветвления (такой случай мы назовем тривиальным), то решение уравнения (12.1) задается формулой (12.3), в которой — произвольный параметр и для всех к. Таким образом, в тривиальном случае уравнение (12.1) имеет однопараметрическое семейство малых решений, задаваемое формулой (12.3). Ввиду этого в дальнейшем мы исключим из рассмотрения тривиальный случай.

Описание решений в одпомерном случае ветвления может быть дано либо в терминах коэффициентов уравнения разветвления, либо в терминах коэффициентов правой части уравнения (12.1). Мы будем придерживаться первого способа и при этом воспользуемся результатами § 2.

В вещественном случае, т. е. когда функции и параметр входящие в уравнение (12.1), вещественны, мы постараемся выделить вещественные решения.

Начнем с рассмотрения того случая, когда (см. п. 2.7 и рис. 8). В этом случае уравнение разветвления (12.4), а значит и уравнение (12.1), имеет не более двух малых решений, описание которых приводит к следующим предположениям о других коэффициентах.

12.2.1. Если для всех выполняются равенства то (см. п. 2.7, случай является двухкратным решением уравнения (12.4) и по лемме является решением уравнения (12.1). Малых решений, отличных от тождественного нуля, уравнение (12.1) не имеет.

12.2.2. Если для но (см. п. 2.7, случай I, 2), то уравнение (12.4) имеет тривиальное решение

и одно малое ненулевое решение

так что уравнение (12.1) имеет одно тривиальное решение и лишь одно нетривиальное малое решение вида (см. (10.14) и лемму 12.2)

12.2.3. Если для но для где — целая часть числа а (см. п. 2.7, случай I, 3), то уравнение (12.4) имеет два нетривиальных малых решения

где при четном при нечетном т. Отсюда и из (12.3) вытекает, что в рассматриваемом случае уравнение (12.1) имеет два (различных в силу леммы 12.1) малых решения

где при четном при нечетном т. В вещественном случае (см. и формулу (2.24)), если четно, то при уравнение (12.4) не имеет малых вещественных решений, а при оно имеет в некоторой окрестности два вещественных нетривиальных решения. Следовательно, в этом случае уравнение (12.1) имеет два нетривиальных решения указанного вида в некоторой окрестности точки При нечетном уравнение (12.1) имеет два вещественных малых решения указанного вида, но эти решения определены лишь для при и для при .

12.2.4. Если для для к то случай I, 4) в силу (2.26) в комплексном случае уравнение (12.1) имеет два различных малых решения вида

определенных в некоторой окрестности точки В вещественном случае эти два решения вещественны при а при уравнение (12.1) не имеет вещественных решений.

12.2.5. Пусть для этом случае и определяющее уравнение принимает вид

так что

и мы получаем для главного члена разложения (2.4) лишь одно значение. Ввиду этого в данном случае согласно равенству (2.27) мы пишем

и, подставляя данное выражение в уравнение разветвления (12.4), находим

где при

а при

Допустим, что . Тогда убывающая часть диаграммы для уравнения (12.10) будет состоять из одного

отрезка с концами а потому

Отсюда и из предыдущего следует, что в комплексном случае уравнение (12.1) имеет два малых решения вида

В вещественном случае (см. п. 2.6) решения вещественны и определены для если Для исследования вещественных решений при нужно воспользоваться соображениями

12.2.6. Если для но для к , то (см. случай I, 4) уравнение (12.1) имеет два малых решения и они представимы в виде рядов по целым степеням X в некоторой окрестности точки . В вещественном случае эти решения вещественны.

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых случаев, когда

12.2.7. Если

0, то (см. пример п. 2.6 и рис. 7) уравнение (12.1) имеет три малых решения: одно расположено по целым степеням X и два — по степеням . В вещественном случае определено в некоторой окрестности точки определены лишь для при и для при .

12.2.8. Если для к но , то (см. п. 2.7, случай II) уравнение (12.1) имеет малых решений, и каждое из них расположено по степеням Из них в вещественном случае при нечетном лишь одно является вещественным и оно определено в некоторой окрестности точки а при четном имеется два вещественных решения и они определены либо для при либо для при .

12.2.9. Ели для по для но , где то случай III) уравнение (12.1) имеет решений, представимых по степеням решений, представимых по степеням в вещественном случае мы приходим к следующим выводам. Если пит — четные числа, то имеется четыре вещественных решения (два представимы по степеням и два — по степеням каждое из которых определено в некоторой полуокрестности нуля. Если тип — нечетные числа или четно и нечетно (ср. случай 12.2.8), то имеется три вещественных решения, из которых одно определено в некоторой окрестности пуля, а два — в полуокрестностях нуля. Если нечетное число, четное число, то имеется лишь два вещественных решения (одно расположено по степеням а другое — по степеням и каждое из них определено в некоторой окрестности нуля.

Аналогично описываются малые решения и в других случаях одномерного ветвления.