§ 22. Степенные операторы, ряды Тейлора, теоремы о неявных операторах

22.1 Степенные операторы

Пусть — банаховы пространства.

Оператор определенный для со значениями в называется к-линейным оператором, если он линеен по каждому аргументу

-линейный оператор называется ограниченным, если

Наименьшая постоянных М, для которых выполняется это неравенство, называется нормой и обозначается ограниченности -линейного оператора легко следует его непрерывность. Типичными примерами к-линейных операторов являются интегро-степенные члены.

-линейный оператор называется симметричным, если его значения не изменяются при любой перестановке его аргументов.

Представляет интерес рассмотрение однородных операторов, возникающих, если в -линейном операторе положить Такие операторы называются степенными или степенями и обозначаются Всегда можно считать, что степень порождена симметричным -линейным оператором. Действительно, положим

где суммирование проводится по всевозможным перестановкам Очевидно, симметричен и

В книге Хилле и Филлипса [1] рассмотрены и более общие степенные операторы. В терминологии этих авторов степени, рассмотренные нами, — это -степени. Это название связано с именем Фреше, так как степенной оператор (любое число раз) непрерывно дифференцируем в смысле Фреше.

В частности, имеем и при фиксированном . В упомянутой книге

рассмотрены также степени, дифференцируемые лишь в смысле Гато. Такие степени не всегда непрерывны. Важным примером степенного оператора является дифференциал порядка к. Условимся через обозначать шар в банаховом пространстве Е.

Пусть — нелинейный оператор, определенный и к раз непрерывно дифференцируемый в смысле Фреше в Тогда (см., например, Л. А. Люстерник, В. И. Соболев [1]) есть -линейный симметричный оператор в . В частности,

где - частная производная, есть степенной оператор порядка к.

Введенные выше понятия легко обобщаются следующим образом. Рассмотрим оператор а значения лежат в Оператор этот назовем -линейным, если он линеен по каждому аргументу -линейный оператор назовем ограниченным, если

-линейный ограниченный оператор всегда непрерывен-Далее, оператор называется симметричным, если он симметричен отдельно по группе переменных и отдельно по группе переменных Полагая придем к степенному оператору

Всегда можно считать, что степенной оператор порожден симметричным -линейным оператором. Степенные операторы непрерывно дифференцируемы в смысле Фреше по х и по у любое число раз. Типичными примерами степеней являются интегро-степенные члены

Другой важный пример дает дифференциал. Пусть — нелинейный оператор, определенный и непрерывно дифференцируемый в смысле Фреше в раз по и I раз по у. Тогда дифференциал

является -линейным симметричным оператором от . В том случае, когда

где - частная производная, и этот оператор является -степенным.