ГЛАВА V. Описание и построение решений нелинейных интегральных уравнений

§ 12. Описание решений нелинейных интегральных уравнений

12.1. Предварительные замечания.

В предыдущих параграфах были рассмотрены различные нелинейные интегральные уравнения, которые либо непосредственно, либо после некоторых преобразований представлялись в виде

где В — линейный оператор, х — неизвестная функция и — однородные операторы степени по х и степени к по числовому или функциональному параметру . Для этих нелинейных интегральных уравнений вида (12.1) ставилась задача о нахождении всех малых решений, т. е. всех непрерывных (в рассматриваемой метрике) решений х, стремящихся к нулю при X О, и о выяснении как числа их, так и вида каждого из них. При этом были разобраны регулярный случай и случай ветвления (одномерный и многомерный).

Мы видели, что в регулярном случае, т. е. когда линейный оператор В имеет ограниченный обратный, уравнение (12.1) имеет единственное малое решение и это решение является аналитической в начале координат функцией от Я, т. е.

где некоторые непрерывные функции, если X — числовой параметр, или - к-линейные операторы, если X — функциональный параметр. При этом могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов, т. е. путем подстановки (12.2) в (12.1) и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях Я, в обеих частях равенства.

Отметим, что в предыдущих параграфах главы IV оператор В имел вид

где I — единичный (тождественный) оператор, линейный интегральный оператор.

Трудным для исследования оказался тот случай, когда подпространство нулей оператора В имело размерность т. е. когда 1 являлась собственным значением кратности оператора А. В этом случае нельзя было гарантировать существование единственного малого решения уравнения (12.1), так как возможно, что при малых уравнение (12.1) не имеет решения или имеет более одного решения, т. е. возможно явление ветвления нулевого решения уравнения (12.1). Вот почему, если то говорят о случае ветвления. При говорят об одномерном случае ветвления, а при — о многомерном случае ветвления.

В одномерном случае ветвления было показано, что в нетривиальном случае (не все коэффициенты уравнения разветвления равны нулю) все малые решения уравнения (12.1) представимы в виде сходящихся рядов

где — собственная функция оператора А, соответствующая собственному числу — вспомогательный параметр, возможные значения которого определяются из уравнения разветвления

В многомерпом случае ветвления малые решения уравнения (12.1) представимы в виде

где — вспомогательные параметры, возможные значения которых определяются из уравнения разветвления

— ортонормированные собственные функции оператора А, принадлежащие его собственному числу 1.

Вопрос о малых решениях уравнения (12.4) и системы (12.6) был изучен в первых двух главах.

Использование полученных там результатов приводит в случае ветвления к описанию всех малых решений уравнения (12.1), как вида (12.3), так и вида (12.5). Это объясняется тем, что между малыми решениями уравнения (12.1) и малыми решениями уравнения разветвления существует взаимно однозначное соответствие. Перейдем к доказательству предложений о взаимпо однозначном соответствии между малыми решениями уравнения (12.1) и соответствующего ему уравнепия разветвления. При этом мы ограничимся случаем, когда X — числовой параметр, хотя эти предложения могут быть распространены и на случай функционального параметра X.

Лемма 12.1. Между малыми решениями уравнения (12.1) и уравнения разветвления (12.6) существует взаимно однозначное соответствие.

Доказательство. Пусть х — малое решение уравнения (12.1). Тогда оно удовлетворяет не только уравнению (12.1), но и следующему уравнению (см.,

например, (10.19)):

где (см., например, (8.22))

— скалярное произведение в пространстве — однородные операторы степени по и степени к по — собственные функции оператора принадлежащие его собственному числу 1. Так как — малое решение, то при малых малы и Но при малых как это было установлено в предыдущих параграфах, (12.5) является единственным малым решением уравнения (12.7). Следовательно, решение (12.7), если в него вместо подставить выражения

совпадет с решением а так как уравнение разветвления (12.6) было получено из системы (12.8) после подстановки в эту систему вместо х его выражения (12.5), то мы приходим к следующему выводу: всякое малое решение х уравнения (12.1) определяет малое решение (12.9) уравнения разветвления (12.6).

Обратно, пусть — произвольное малое решение уравнения разветвления (12.6). Тогда при достаточно малых малы и Но при достаточно малых выражение (12.5) определяет единственное малое решение уравнения (12.7). Если теперь в формулу (12.5) вместо подставить выражения то получим

причем эти удовлетворяют равенствам (12.9), ибо уравнение разветвления (12.6) было получено из (12.8) после подстановки в (12.8) выражения х из (12.5). Отсюда следует, что если в (12.5) вместо подставить малое решение уравнения разветвления (12.6), то получим малое решение уравнения (12.1),

ибо удовлетворяет как уравнению (12.7), так и условиям (12.9) и (12.8).

Раз каждое малое решение системы (12.6) и соответствующее ему по формуле (12.5) (если подставить туда вместо малое решение уравнения (12.1) удовлетворяют соотношениям (12.9), то различным соответствуют различные Лемма доказана.

Во второй главе мы видели, что в квазирегулярном случае число малых решений

уравнения разветвления (12.6) конечно и каждое из них представимо в виде сходящегося ряда по целым или дробным степеням Я. Разумеется, такие решения могут быть и в вырожденном случае. Каждое малое решение системы (12.6), представимое в виде сходящегося ряда по целым или дробным степеням , приводит по формуле (12.5) к малому решению х уравнения (12.1), которое также представимо в виде сходящегося (в рассматриваемой метрике) ряда по целым или дробным степеням Я. Имеет место и обратное предложение.

Обозначим через 21 совокупность всех малых решений уравнения (12.1), представимых в виде рядов по целым или дробным степеням , и через — совокупность всех малых решений уравнения разветвления (12.6), представимых в виде рядов по целым или дробным степеням . Из леммы 12.1 вытекает

Следствие 12.1. Существует взаимно однозначное соответствие между 91 и 35.

В предыдущих параграфах при вычислении коэффициентов уравнения разветвления (см., например, (10.23)) мы видели, что если то для всех Используя лемму 12.1 и учитывая, что при имеем а значит, из равенства следует мы приходим к предложению.

Лемма 12.2. Если для всех , то для всех к.

Доказательство. Если для всех I и к, то является решением уравнения

разветвления. Согласно (12.5) имеем тогда

Следовательно, для всех к. Лемма доказана.