17.4. Метод неопределенных коэффициентов.

В §§ 15 и 16 было обращено внимание на то, что излагаемые нами методы теории ветвления (заключающиеся в построении и исследовании уравнения разветвления) следует сочетать с методом неопределенных коэффициентов. Именно, сначала путем исследования уравнения разветвления мы получаем информацию о числе решений, о виде каждого решения и о сходимости решений вида (15.14), а затем методом неопределенных коэффициентов определяем функции входящие в ряды (15.14). Однако в случае автономных систем (17.1) возникают трудности при решении рекуррентных систем дифференциальных уравнений относительно последовательности векторов

раньте, в случае неавтономных систем, произвольные постоянные, появившиеся при интегрировании дифференциального уравнения рекуррентной системы для определения вектора определялись из условия -периодичности вектора где Здесь векторы не имеют постоянного периода (он зависит от X). Ввиду этого мы предварительно преобразуем систему (17.1), пользуясь заменой (см., например, И. Г. Малкин [1])

считая известными коэффициенты ряда

Система (17.1) примет вид

При изменении аргумент изменится от 0 до . Теперь решения системы (17.1) мы ищем

в виде рядов

( — натуральные числа), где являются -периодическими функциями аргумента 0.

Отметим еще, что и в случае автономных систем справедлива

Теорема 17.4. В регулярном и квазирегулярном случаях всякое формальное решение задачи является и настоящим.