ГЛАВА IX. Некоторые задачи теории вовмущений

§ 30. Жордановы цепочки и наборы фредгольмовских операторов

Пусть даны два оператора В и А из причем оператор В фредгольмовский с числом нулей

30.1. А-жорданова цепочка при n = 1.

Рассмотрим сначала случай Пусть — нуль оператора — его дефектный функционал (см. п. 21.1).

Если то будем говорить, что элемент имеет А-жорданову цепочку длины 1, состоящую из элемента При рассмотрим уравнение которое разрешимо. Пусть — одно из его решений. Если то будем говорить, что элемент имеет А-жорданову цепочку длины 2, состоящую из элементов

Дадим теперь общее определение. Будем говорить, что элемент имеет А-жорданову цепочку длины если существуют элементы удовлетворяющие соотношениям

причем

Будем говорить при этом, что указанная жорданова цепочка состоит из элементов Элемент будем называть А-присоединенным элементом порядка к элементу

Условимся, далее, о следующем обозначении: длину -жордановой цепочки нуля оператора В будем обозначать через

Скажем, что длина А-жордановой цепочки равна бесконечности если существует последовательность элементов удовлетворяющая соотношениям

Заметим еще, что из определения А-жордановой цепочки следует, что

-жорданова цепочка определяется, конечно, неоднозначно. Эту неоднозначность мы устраним следующим образом. Пусть таков, что Потребуем, чтобы при выполнялись условия

Это требование означает, что А-присоединенные элементы к мы разыскиваем в . В случае мы предполагаем, что условия (30.6) выполняются при любых к. Далее без ограничения общности можно считать, что

(Если это равенство не выполнено, то достаточно заменить на что возможно вследствие неравенства Положим, наконец,

и построим, следуя Э. Шмидту, оператор

Из леммы 21.1 вытекает, что оператор

существует и ограничен. Кроме того, из формул (30.9), (30.4) и (30.6) имеем

В свою очередь из этих формул вытекает линейная независимость элементов А-жордановой цепочки. Действительно, допустим противное, что существуют числа

не все равные нулю, такие, что

Применим к этому равенству оператор А, а затем функционал и согласно формулам (30.5) и (30.7) получим, что . К равенству применим теперь оператор и, пользуясь формулами

которые доказываются так же, как формулы (30.11), получим

К этому равенству снова применим оператор А, а затем функционал и найдем, что

Продолжая данный процесс, мы придем к противоречию, что все Следовательно, линейно независимы.