14.6 Особые решения в пространствах Лебега.

В предыдущих пунктах был изучен вопрос об особых решениях уравнения (14.1), принадлежащих пространству непрерывных функций при Полученные результаты распространяются на пространства Лебега при .

Пусть В — измеримое по Лебегу множество конечномерного евклидова пространства и Мы будем предполагать, что порождает линейный интегральный оператор А:

действующий вполне непрерывно из где . Данное требование, в частности, выполняется, если , где что непосредственно следует из неравенства Гёльдера. Пусть, далее, и каждое ядро в

порождает оператор

действующий из где причем — вполне непрерывный оператор.

Из этих требований непосредственно следует, что линейные и нелинейные интегральные операторы, входящие в уравнение (14.1), действуют из пространства в пространство где . Покажем это для последнего слагаемого, входящего в правую часть равенства (14.1). Пусть

Тогда а оператор по условию действует вполне непрерывно из

Ввиду этого все предложения, установленные в предыдущих пунктах для пространств непрерывных функций, сохраняются и для пространств Лебега . При этом под малым решением понимается функция, которая принадлежит пространству и норма которой в этом пространстве стремится к нулю при Под ненулевым решением уравнения (14.5) понимается решение, норма которого в пространстве отлична от нуля. Заметим еще, что теоремы о ненулевых решениях уравнения (14.7), на которые мы ссылались . М. Вайнберг [1], теоремы 25.1, 25.5 и 25.7), справедливы для пространств Лебега

В заключение отметим, что более общее уравнение

исследуется так же, как уравнение (14.1). При этом, если обладает теми же свойствами, что и то сохраняются и ранее установленные предложения.