7.5. Простейшее уравнение.

Изучение интегральных уравнений Ляпунова — Шмидта мы начнем с простейшего случая. Пусть заданные непрерывные функции. Рассмотрим в прострапстве непрерывных функций уравнение относительно неизвестной функции и

где

этом мы будем предполагать, что в неравенствах (7.9) выбрано так, что при выполняется неравенство . В этом случае, согласно теореме 7.2, правая часть уравнения (7.10) удовлетворяет условиям теоремы 7.3, а потому уравнение (7.10) имеет единственное непрерывное решение причем

Покажем, что это решение представимо в виде

Пусть число (при этом разность может быть достаточно малым числом) и — произвольное комплексное число, удовлетворяющее условию Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение

Согласно предыдущему, если то данное уравнение имеет единственное непрерывное решение которое может быть найдено

методом последовательных приближений

так что

равномерно по к для всех значений к, удовлетворяющих условию . Так как каждое приближение является голоморфной функцией от к в круге и последовательность сходится равномерно к и, то по известной теореме Вейерштрасса (см., например, А. И. Маркушевич [1]) решение является голоморфной функцией к в круге , а потому

Отсюда при имеем, в частности,

Отметим, что отсутствие свободного члена в (7.13) объясняется тем, что 0 при к ибо при уравнение (7.10) имеет решение и оно единственное.

Коэффициенты ряда (7.13), т. е. могут быть найдены путем подстановки этого ряда в (7.12) и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях к. Таким путем находим, что

определяется при помощи а для определения еще нужны . Методом полной математической индукции устанавливается, что определяется при помощи и всех тех для которых . Отсюда и из (7.14) следует представление (7.11), где

пробегает конечное число значений и