22.3 Теоремы о неявных операторах.

Приведем две теоремы о неявных операторах. Первая из них была установлена Ламсоном [1] и обобщена Гильдебрандтом и Грэйвсом [1], вторая, по-видимому, принадлежит Майклу и Клиффорду [1].

Рассмотрим задачу о нахождении решений (у играет роль параметра) уравнения

удовлетворяющих условию

если оператор удовлетворяет условию

Теоремы о неявных операторах позволяют изучить простейший случай этой задачи, когда она имеет (локально) единственное решение. Общий случай приводит к теории ветвления решений нелинейных уравнений и будет изучен в последующих параграфах.

Теорема 22.1, Пусть оператор непрерывен в некоторой окрестности точки со

значениями в и удовлетворяет условию (22.11). Пусть, далее, в существует непрерывная частная производная причем оператор

имеет ограниченный обратный оператор.

Тогда существуют положительные числа такие, что в шаре существует единственное решение

уравнения (22.9). Это решение определено при непрерывно в этом шаре и удовлетворяет условию (22.10).

Доказательство этой теоремы содержится в различных книгах (см., например, Канторович, Г. П. Акилов [I], теорема 2 (4.17) или Л. А. Люстерник, В. И. Соболев (II), и мы его приводить не будем.

Теорема 22.2. Пусть — аналитический оператор в со значениями в причем оператор В имеет ограниченный обратный. Тогда существуют положительные числа такие, что в существует единственное решение (22.13) уравнения (22.9). Это решение определено в , аполитично в этом шаре и удовлетворяет условию (22.10).

Доказательство. Сначала заметим, что выполнены все условия теоремы 2.1, поэтому справедлив вывод зтой теоремы. Положим

и запишем уравнение (22.9) так:

где

Решение уравнения (22.15) будем искать в виде

где — степенной оператор порядка к. Подставляя (22.17) в (22.15) и приравнивая, согласно теореме единственности аналитических функций, члены одинаковых порядков по получим рекуррентную систему для определения

Оказывается, что

Из системы (22.18) последовательно определяем и получаем формальное решение в виде ряда (22.17). Это решение окажется настоящим, если удастся доказать сходимость ряда (22.17).

Сходимость этого ряда устанавливается при помощи метода мажорант Коши — Гурса (см. Гурса [2]). Ряд, стоящий в правой части уравнения (22.15), если учесть формулы (22.16) и неравенства Коши (22.8), мажорируется следующей функцией (кратной прогрессией):

где

Как и в классическом случае (Гурса 11], стр. 78—82), легко убеждаемся, что уравнение

будет мажорантным для уравнения (22.15). Это квадратное уравнение относительно имеет единственный корень удовлетворяющий условию

где

так что ряд (22.17) сходится при

Итак, в качестве можно выбрать любое число из . Заметим еще, что — монотонно возрастающая функция на , поэтому в качестве можно принять

Теорема доказана.

В заключение приведем более общую теорему о неявных операторах, позволяющую привлечь к рассмотрению и неограниченные операторы. Близкие результаты получены А. Е. Гельманом [1].

Теорема 22.3. Пусть — линейное множество, плотное в и пусть — нелинейный оператор со значениями в определенный при

удовлетворяющий условию и имеющий на производную в смысле Гато . Пусть, далее, оператор имеет ограниченный обратный оператор, причем операторы

непрерывны по , где

Тогда найдутся положительные числа и такие, что в шаре уравнение (22.9) имеет при единственное решение (22.13). Это решение удовлетворяет условию (22.10) и непрерывно в . Если дополнительно оператор аналитичен при , то найдется число такое, что в шаре указанное решение аполитично.

Доказательство. Уравнение (22.9) эквивалентно, очевидно, уравнению (замена

где

Для уравнения (22.20) выполнены все условия теоремы 22.1. Так, условие (22.11) принимает вид Далее, здесь оператор непрерывен и, наконец,

так как есть линейный (возможно, неограниченный) оператор с областью определения не зависящей от в окрестности точки Таким образом, существование и единственность непрерывного (при дополнительном предположении — аналитического) решения удовлетворяющего условию и следуют из теорем 22.1 и 22.2. Очевидно, и и теорема доказана.