20.2. Устойчивость решений задачи Пуанкаре.

Рассмотрим теперь случай, когда дифференциальное уравнение зависит от малого вещественного числового параметра X. Пусть

есть уравнение, рассмотренное в § 16, причем для удобства предполагается также, что коэффициенты рядов суть вещественные функции аргумента

Выберем одно из -периодических решений задачи Пуанкаре для уравнения (20.4) и для малых значений исследуем его устойчивость.

Допустим, что компоненты вектора вещественны и имеют вид

где — натуральное число), причем имеется в виду арифметическое значение корня , и -периодическое решение порождающего уравнения

Отметим, что если для уравнения (20.4) имеет место квазирегулярный случай (см. § 16), то число всех решений задачи Пуанкаре конечно и каждое из них представляется в виде (20.5).

Полагая в , сведем поставленную задачу к задаче об устойчивости тривиального решения уравнения

где

и

Исследуем по первому приближению устойчивость тривиального решения уравнения (20.7). С этой целью построим сначала матрицу монодромии линейного уравнения

соответствующего уравнению (20.7). Для построения матрицы монодромии уравнения (20.8) достаточно (см., например, И. Г. Малкин решить начальную задачу (20.9) — (20.10):

и в полученном решении (оно будет единственным и аналитическим по ) положить .

Решение задачи (20.9) -(20.10) будем искать в виде матричного ряда

Коэффициенты ряда (20.11) определяются подстановкой (20.11) в (20.9) и решением получающейся рекуррентной системы уравнений при следующих начальных условиях (согласованных с — нулевая матрица,

Имеем

Решение задачи (20.12) — (20.10) принимает вид

Таким образом, матрица монодромии уравнения (20.8) представляется в виде ряда

где

Обозначим через мультипликаторы уравнения (20.8) и отметим следующие их два свойства.

Теорема 20.3. Все мультипликаторы уравнения (20.8) суть непрерывные функции в некоторой полуокрестности справа точки

Действительно, это утверждение непосредственно следует из того, что все элементы матрицы монодромии уравнения (20.8) являются непрерывными функциями и старший коэффициент характеристического уравнения

не зависит от

Теорема 20.4. Справедливы соотношения

где суть собственные значения матрицы А-Действительно, так как — собственные значения матрицы А, то (см., например, Ф. Р. Гантмахер [1]) — собственные значения матрицы Поэтому в силу соотношений (20.13), (20.14) и теоремы 20.3 приходим к (20.15). Из теорем 20.3 и 20.4 вытекает

Следствие 20.1. Все мультипликаторы уравнения (20.8) представляются в виде

где определяются формулам (20.15), а добавки непрерывны в некоторой полуокрестности справа точки и удовлетворяют условиям

Учитывая следствие 20.1, приходим к следующему выводу:

Если для некоторого собственного значения у матрицы (соответственно ), то отвечающий этому собственному значению мультипликатор уравнения (20.8) удовлетворяет (в некоторой полуокрестности справа точки неравенству (соответственно

Отсюда на основании теоремы 20.2, в частности, следует, что если хотя бы одно собственное значение матрицы А имеет положительную вещественную часть, то для малых тривиальное решение уравнения (20.7) неустойчиво.

Ввиду этого в дальнейшем будем предполагать, что собственные значения матрицы А удовлетворяют неравенствам причем подлежат исследованию лишь добавки а к тем которые отвечают критическим собственным значениям (т. е. нулевым и чисто мнимым). Для определения указанных добавок составим уравнение (см. также п.п. 32.1 и 32.2)

где

— вектор-столбец -мерного евклидова пространства

Исследуем сначала добавки а к тем которые отвечают резонансным критическим собственным значениям матрицы А, т. е. собственным значениям вида

где — натуральные числа.

В силу (20.15) всей совокупности (20.20) отвечает лишь единственное собственное значение матрицы

Обозначим через I кратность собственного значения матрицы и через — размерность подпространства решений уравнения где Как известно (см., например, А. И. Мальцев [1]), число равно дефекту матрицы С.

Для сравнения чисел приведем следующий подсчет.

Обозначим через число всех элементарных делителей матрицы А, отвечающих собственному значению и — число всех элементарных делителей этой матрицы, отвечающих каждому собственному значению из пары Тогда согласно теоремам 9 и 8 главы VI

монографии Ф. Р. Гантмахера [1] имеем

С другой стороны, согласно указанной теореме 9 и теореме Жордана число I равно сумме показателей всех упомянутых выше элементарных делителей матрицы А. Отсюда следует что

причем соотношение (20.21) переходит в равенство лишь в случае, когда все указанные элементарные делители простые.

Отметим также, что рассматриваемый в настоящем параграфе подход не связан с какими-либо априорными ограничениями на числа и I.

Обозначим соответственно через

и

ортонормированные базисы подпространств решений уравнений где С — матрица, сопряженная с С. В рассматриваемом случае С — матрица, транспонированная по отношению к С, ибо С — вещественная матрица.

Введем в рассмотрение матрицу

и обозначим через скалярные произведения

Используя обозначения (20.22) и (20.23), перепишем уравнение (20.18) в виде

где

Покажем, что матрица обратима. Для этого, как известно, достаточно установить, что уравнение

имеет единственное нулевое решение

Пусть — любое решение этого уравнения. Тогда в силу (20.24) выполняется соотношение

которое после скалярного умножения обеих частей на принимает вид

Упростим соотношения (20.25).

Так как

Учитывая, далее, обозначение (20.22) и используя ортинормированность системы векторов имеем

Таким образом, в силу (20.26) и (20.27) соотношения (20.25) принимают вид

т. е. вектор ортогонален ко всем векторам базиса подпространства решений уравнения принадлежит этому подпространству. Поэтому он равен нулю.

Умножая теперь слева обе части уравнения (20.18) на матрицу получаем

Преобразуем последние слагаемых уравнения (20.28). Для этого покажем сначала, что

Действительно, используя соотношения

и

и учитывая (20.24) и (20.22), имеем

Умножая теперь слева обе части полученных равенств на матрицу приходим к соотношениям (20.29). Итак, в силу (20.29) уравнение (20.28) принимает вид

Отметим, что матрица Якоби уравнения (20.30) при является единичной матрицей и, следовательно, для этого уравнения применима теорема о неявных функциях. Так как, кроме этого, правая часть (20.30) зависит аналитически от (причем от и линейно), то уравнение (20.30) имеет единственное локальное решение

Коэффициенты ряда (20.31) последовательно определяются подстановкой (20.31) в (20.30) и сравнением коэффициентов в обеих частях получаемых тождеств при одинаковых одночленах относительно

Подставляя ряд (20.31) в условия разрешимости уравнения (20.18):

приходим к однородному линейному уравнению отнеся тельно 1:

где через 1 обозначен вектор-столбец

Отметим (см. (20.23)), что является собственным значением матрицы монодромии тогда и только тогда, когда уравнение допускает ненулевое решение т. е. лишь при условии, что

Уравнение (20.32) можно представить в виде

причем

где I — кратность собственного значения матрицы

Для нахождения всех малых решений уравнения (20.32) применим метод диаграммы Ньютона (см. § 2). Так как то все нетривиальные малые решения этого уравнения представляются сходящимися рядами

где — тангенс угла между соответствующим звеном диаграммы Ньютона и отрицательным направлением оси

абсцисс, корень определяющего уравнения (см.п. 2.4) для этого звена:

при этом (см. § 2) все коэффициенты уравнения (20.35) отличны от нуля и индексы к и удовлетворяют соотношениям

Для дальнейшего преобразуем определяющее уравнение (20.35). С этой целью предварительно перепишем соот ношения (20.37) в виде

откуда следует

и так как имеем

т. е.

где — натуральные числа, удовлетворяющие в силу (20.36) неравенствам

Таким образом, определяющее уравнение (20.35) можно записать в виде

Запись определяющего уравнения в виде (20.35) делает совершенно прозрачными следующие два предложения.

Лемма 20.1. Если — корень определяющего уравнения (20.35), то где — любой корень степени из 1, также является корнем уравнения (20.35). Доказательство очевидно.

Лемма 20.2. Пусть Тогда, если уравнение (20.35) имеет корень с отрицательной вещественной частью, то оно обладает также корнем, у которого вещественная часть неотрицательна.

Доказательство. Для лемма очевидна. Действительно, если в этом случае число с является корнем уравнения (20.35), то также является корнем этого уравнения.

Пусть Тогда существуют по крайней мере два корня степени из единицы

такие, что

Допустим, что является корнем уравнения (20.35). Тогда по лемме 20.1 величины и также служат корнями уравнения (20.35), причем, очевидно, хотя бы один из этих корней имеет неотрицательную вещественную часть. Лемма доказана.

Наряду с мультипликатором

(см. (20.16) и (20.34), рассмотрим также его приближенное значение

Из (20.38) и (20.39) следует

Лемма 20.3. Для малых выражения одновременно больше или меньше единицы.

Отметим также, что в силу леммы 20.1 при нахождении приближенных значений всех мультипликаторов достаточно ограничиться лишь арифметическим значением корня

С помощью лемм и равенства (20.39) мы приходим к различным предложениям об устойчивости тривиального решения, из которых приведем следующие.

Теорема 20.5. Если в резонансном случае хотя бы один корень определяющего уравнения какого-либо звена диаграммы Ньютона имеет неотрицательную вещественную часть, то для малых 0 тривиальное решение уравнения (20.7) неустойчиво.

Доказательство. Пусть С — корень с неотрицательной вещественной частью одного из определяющих

уравнений. Обозначим через мультипликатор, отвечающий этому корню:

и запишем также его приближенное значение

Так как

Отсюда согласно лемме 20.3 для малых выполняется неравенство

Для завершения доказательства остается лишь сослаться на теорему 20.2.

В приложениях удобна также следующая

Теорема 20.6. Если в резонансном случае хотя бы для одного звена диаграммы Ньютона число то для малых тривиальное решение уравнения (20.7) неустойчиво.

Доказательство непосредственно вытекает из леммы 20.2. и теоремы 20.5.

Из теоремы 20.6, в частности, следует, что для асимптотической устойчивости тривиального решения уравнения (20.7) необходимо, чтобы числа для всех звеньев диаграммы Ньютона равнялись единице.

Приведем также один достаточный признак асимптотической устойчивости.

Выделим класс дифференциальных уравнений (20.7), для которых собственные значения у матрицы А обладают неположительными вещественными частями, причем те у, для которых являются резонансными и составленное для них уравнение (20.32) не имеет нулевых решений о

Теорема 20.7. Для асимптотической устойчивости тривиального решения уравнения (20.7), принадлежащего

к классу достаточно, чтобы корни всех определяющих уравнений диаграммы Ньютона, построенной для (20.32), имели отрицательные вещественные части. Доказательство следует из леммы 20.3 и теоремы 20.1. Исследование устойчивости тривиального решения уравнения (20.7) в случае, когда матрица .4 имеет нерезонансные критические собственные значения у, не приводит к дополнительным трудностям.

Так же, как и в случае резонансных собственных значений, для определения добавок а приходим к уравнению вида (20.32), которое исследуется с помощью диаграммы Ньютона. На основании леммы 20.3 при малых для оценки модуля мультипликатора

— корень определяющего уравнения) можно ограничиться его приближенным значением

При этом оказывается полезным следующее

Замечание 20.2. Неравенства принимают соответственно вид

и

где

Так как то для малых и при неравенства (20.40) и (20.41) равносильны соответственно неравенствам

и

С помощью неравенств (20.40) и (20.41) или (20.42) и (20.43) устанавливаются различные признаки как неустойчивости, так и асимптотической устойчивости.

В заключение отметим, что изложенный в настоящем параграфе подход к задаче об устойчивости тривиального решения уравнения (20.7) целесообразно применять в случае, когда матрица А имеет резонансные собственные значения с непростыми элементарными делителями. Если — непрерывная и -периодическая матрица, то предложенный метод также применим. При этом он легко реализуется, когда уравнение

интегрируется в замкнутой форме.

Отметим еще, что результаты данного параграфа распространяются на дифференциально-разностные системы, но процедура вывода уравнения (20.32) иная.