15.3. Условия периодичности и уравненне разветвления.

Как известно (см., например, Лефшец [2], стр. 168), для того чтобы решение (15.4) было -периодическим, необходимо и достатонпо, чтобы

или, согласно равенству (15.3),

В силу (15.5) левые части данной системы представляют собою аналитические функции в точке

Левые части системы (15.6) мы сократим на максимальную допустимую степень X. Получим тогда

Решение данной системы мы по-прежнему назовем малым, если и непрерывно в некоторой окрестности точки или (в вещественном случае) в некоторой полуокрестности точки содержащей

Лемма 15.1. Между множеством всех малых решений уравнения (15.7) и множеством всех решений поставленной в п. 15.1 задачи существует взаимно однозначное соответствие.

Данная лемма доказывается примерно так же, как лемма 12.1. В силу данной леммы поставленная задача об отысканиивсех -периодических решений уравнения (15.11, ответвляющихся при от фиксированного -периодического решения порождающей системы (15.2), сводится к нахождению всех малых решений уравнения (15.7).

Если хотя бы для одного то система (15.7) не имеет малых решений. Ввиду этого мы будем предполагать, что

Обозначим через матрицу Якоби в нуле от но и пусть — дефект этой матрицы. Исключая неизвестных из системы (15.7), мы получим

где — оставшиеся после исключения неизвестные из совокупности причем функции Ф? являются аналитическими в начале координат. Далее, в силу леммы 1.1 имеем

так что система (15.9) представляет собою уравнение разветвления рассматриваемой задачи.

Так как системы (15.7) и (15.9) эквивалентны, то в силу леммы 15.1 рассматриваемая задача о ветвлении периодических решений уравнения (15.1) сводится к нахождению всех малых решений уравнения разветвления (15.9).

Прежде чем перейти к описанию возможных решений рассматриваемой задачи, мы сделаем следующее

Замечание 15.1. К уравнению разветвления (15.9) мы приходим как в вещественном случае (когда пространство и параметр Я вещественны), так и в комплексном случае. Однако методы исследования уравнения разветвления (см. § 2 и § 6) используют предположение о том, что неизвестные и Я комплексны. Ввиду этого в вещественном случае (когда Е и вещественны) мы в

уравнении (15.9) будем рассматривать как комплексные переменные, т. е. распространим область определения функций Ф; на комплексное пространство, найдем все малые решения уравнения (15.9), а затем выделим малые вещественные решения.