26.3. Теорема Аткинсона.

Связь с сопряженным оператором. Читатель, интересующийся лишь теорией ветвления, этот пункт может пропустить. Результаты пункта приведены нами лишь для полноты соответствующей линейной теории.

В рассматриваемом случае лемма Шмидта, естественно, неверна, однако в ряде вопросов ее может заменить следующее предложение.

Теорема 26.1. (Ф. Аткинсон [1]). Для того чтобы нормально разрешимый оператор В был Н-оператором с -характеристикой необходимо и достаточно, чтобы существовали ограниченный оператор — область значений оператора В — подпространство в n-мерный проектор и -мерный проектор такие, что

Доказательство необходимости. Пусть В есть Я-оператор с -характеристикой Покажем, что можно принять

где Р и — проекторы, определенные формулами (21.8) и (26.7). Действительно, при вследствие очевидной формулы имеем

Если

Аналогично при учитывая, что имеем а при

Необходимость доказана.

Доказательство достаточности.

Пусть теперь существуют оператор и проекторы такие, что выполнены условия (26.9). Рассмотрим уравнение Применяя к нему справа оператор получим Если нульмерен, то

Пусть -мерный проектор; тогда легко показать, что найдутся система линейно независимых элементов и система функционалов биортогональные друг к другу, такие, что

В этом случае уравнение имеет решение

где — произвольные числа и

Аналогично рассмотрим неоднородное уравнение и положим Согласно второй формуле (26.9) имеем

Если нульмерен, то и т. е. в этом случае неоднородное уравнение разрешимо при любых

Пусть -мерный проектор в Тогда найдутся системы линейно независимых элементов и биортогональная к ней система функционалов такие, что

Из (26.10) имеем необходимое условие т. е.

Если это условие выполнено, то найдется (см. (26.10)) такое, что и неоднородное уравнение имеет решение Теорема доказана.

Следствие. Пусть В есть -оператор с -харак-теристикой тогда В также есть -оператор и его -характеристика равна Кроме того,

Доказательство. Ограничимся случаем, когда (остальные случаи рассматриваются аналогично).

Имеем (доказательство необходимости теоремы 26.1)

Переходя в этих равенствах к сопряженным операторам, получим

Но В* нормально разрешим (Хаусдорф [1]). Применяя к оператору теорему 26.1 (достаточность), мы видим, что за можно принять а за

соответственно проекторы

и

Поэтому В* — -оператор с -характеристикой Отсюда видно, что — базис в

— базис в Следствие доказано.