1.3. Аналитический случай.
Пусть в дополнение к условиям предыдущего пункта функции
являются аналитическими по совокупности всех аргументов в начале координат и ранг матрицы В удовлетворяет условию 
Введем обозначения: 
Так как функции являются аналитическими, то и функции 
входящие в систему (1,5), также являются
аналитическими. Далее, согласно теореме 1.2 функции
введенные при доказательстве теоремы 1.5, являются аналитическими. Ввиду этого система (1.7) (т. е. уравнение разветвления) может быть записана в виде
где 
— аналитические в начале координат функции 
переменных, удовлетворяющие условиям: 
, и среди линейных слагаемых нет таких, которые содержали бы 
. В частности, если речь идет о системе неявных функций одного аргумента 
то при 
уравнение разветвления, если положить 
принимает вид
Для полного решения общей задачи о неявных функциях в аналитическом случае нужно из уравнения разветвления, т. е. из системы (1.10), определить 
как непрерывные функции от 
обращающиеся в нуле в нуль. Этим будут найдены 
и при помощи формул
остальные функции 
Поэтому исследование уравнения разветвления представляет большой интерес для теории неявных функций. Это исследование представляет также интерес для теории малых решений нелинейных уравнений в различных функциональных пространствах. В работах М. А. Ляпунова [1—3] и Э. Шмидта [1], опубликованных в начале нашего столетия, было показано, что задача о малых решениях (см. пункты 8.4 и 8.5) нелинейных интегральных уравнений сводится к исследованию выведенного ими уравнения разветвления этой задачи. Вот почему система (1.10) (а также система 
называется уравнением разветвления Ляпунова — Шмидта. Исследованию уравнения разветвления будут посвящены остальные параграфы настоящей и следующей главы. Сначала (§ 2) мы рассмотрим
одномерный случай ветвления, т. е. когда в уравнении разветвления 
затем (в § 5) двумерный, т. е. когда 
, наконец (§ 6), многомерный. Для изучения многомерного случая мы предварительно в §§ 3 и 4 рассмотрим некоторые вопросы как теории функций многих комплексных переменных, так и теории делимости.
