2.3. Примеры.

Пример 2.1.

Пусть

Здесь имеем

Для построения диаграммы мы наносим (см. рис. 2) точки (0.3), (1.1) и (3.0).

Непосредственно из диаграммы находим

Для определения и (см. равенство в п. 2.1) имеем уравнения

Из этих уравнений мы находим, что

Отсюда согласно равенству (2.5) имеем главные члены решений

Для нахождения второго члена ряда (2.4) мы подставляем каждое из найденных решений в исходное уравнение. Начнем с первого решения. Напишем . Подставляя это выражение в исходное уравнение, получим

К данному уравнению опять применяем диаграмму Ньютона. Наносим точки (0,6), (1,1), (2,2), (3,0) и строим диаграмму (см. рис. 3).

Из диаграммы находим

Рис. 3.

Так как для ряда (2.4) должно выполняться условие то найденное выражение для не подходит. Так же, как раньше, находим из уравнения — откуда

Аналогично находятся вторые члены ряда (2.4) для других решений. Подставляя в исходное уравнение , находим

По точкам и строим диаграмму (рис. 4) и находим Второе значение не подходит, так как нужно, чтобы . Определяем из уравнения и пишем

Рис. 4.

Так же находятся следующие приближения, т. е. следующие члены ряда (2.4).

Пример 2.2. Рассмотрим уравнение

Рис. 5.

При помощи диаграммы Ньютона (рис. 5) получаем следующие значения Уравнения для нахождения будут — откуда — двукратный корень, так что

Таким образом, для вещественных решений имеем