29.3. Краевые задачи для эллиптических уравнений в пространстве суммируемых функций.

Пусть — ограниченная область в евклидовом пространстве с бесконечно дифференцируемой границей Г (класса Рассмотрим дифференциальное выражение

где — мультииндекс, т. е. последовательность индексов

а функции бесконечно дифференцируемы в

Дифференциальное выражение называется эллиптическим в если его характеристический полином

всюду в отличен от нуля при любом вещественном

векторе отличном от нуля. Под понимается выражение

Дифференциальное выражение называется сильно эллиптическим (М. И. Вишик [1]), если существует комплексная функция непрерывная в и такая, что полином при и любом вещественном векторе .

Наконец, эллиптическое в дифференциальное выражение назовем правильно эллиптическим в если для каждого вещественного вектора , параллельного Г в точке х, и каждого вещественного вектора , нормального к Г в х, полином от имеет ровно корней с положительными мнимыми частями (остальные корней вследствие эллиптичности имеют отрицательные мнимые части).

Всякий эллиптический оператор в при правильно эллиптичен (Я. Б. Лопатинский [1]). Наряду с дифференциальным выражением (29.12) рассмотрим также граничные дифференциальные выражения

где коэффициенты бесконечно дифференцируемы на Г. (Естественно, можно ослабить ограничения на гладкость границы Г и коэффициентов Для граничных дифференциальных выражений составим их характеристические полиномы

Будем говорить, что система граничных дифференциальных выражений (29.13) дополнительна к правильно эллиптическому дифференциальному выражению (29.12), если для каждого вещественного вектора , параллельного Г в точке х, и для каждого вещественного вектора , нормального к Г в х, полиномы от линейно независимы по

модулю полинома

где — корни полинома с положительными мнимыми частями, т. е. тождество вида

где — полином, возможно лишь при Отметим, что требование дополнительности , к является видоизменением на рассматриваемый случай условия Шапиро — Лопатинского (см. предыдущий пункт).

Система граничных дифференциальных выражений (29.13) называется нормальной, если

2) при всех и , где вектор, нормальный к Г в точке х (это условие эквивалентно тому, что Г не является характеристикой ни для одного из

Введем банахово пространство состоящее из функций и пространства (см. С. Л. Соболев [1]) и удовлетворяющих граничным условиям (граничные значения эти имеют смысл для функций из и понимаются в смысле обобщенных производных С. Л. Соболева).

Пусть — правильно эллиптическое дифференциальное выражение, а — дополнительная к и нормальная система граничных дифференциальных выражений. Тогда имеет место неравенство коэрцитивности (см., например, М. Шехтер [11)

Из этого неравенства следует, что дифференциальный оператор В, задаваемый на функциях из формулой является ограниченным оператором (оператором из причем число его нулей конечно.

Пусть формально сопряженное к дифференциальное выражение:

Можно определить также сопряженную к нормальную систему граничных дифференциальных выражений определяется, как обычно, с помощью интегрирования по частям).

Рассмотрим теперь граничную задачу

Если задача (29.14) имеет лишь тривиальное решение, то задача разрешима при любой правой части Шехтер [1]). Если же задача (29.14) имеет нетривиальные решения, то для того, чтобы уравнение было разрешимо, необходимо и достаточно, чтобы для каждого решения задачи (29.14) (см. М. Шехтер [2]). Это означает нормальную разрешимость оператора В. Далее, неравенство коэрцитивности справедливо, конечно, и для сопряженной задачи, и потому задача (29.14) имеет конечное число линейно независимых решений. Таким образом, В есть нетеровский оператор.

В ряде случаев В оказывается фредгольмовским оператором. Так будет, например, в случае задачи Дирихле, когда (производная по нормали к Г). Фредгольмовость оператора В, порожденного некоторыми краевыми задачами для сильно эллиптических дифференциальных выражений, установлена М. И. Вишиком [1]. Отметим, что при всякое правильно эллиптическое дифференциальное выражение является сильно эллиптическим.

Рассмотрим теперь нелинейную краевую задачу с малым комплексным параметром X:

где правильно эллиптично, дополнительная к нормальная система.

(Запись — сокращенная запись, которая означает, что функция может зависеть от и и ее производных до порядка . Также под будем понимать набор производных по всем ее аргументам

Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывны по совокупности переменных , где любое, а почти при каждом фиксированном и измеримы по х при фиксированных

2) почти для всех ;

3) есть непрерывный оператор, отображающий сферу в пространство и имеющий в указанной сфере непрерывную производную Фреше. (Если зависит только от и, X, х, то достаточное условие для выполнимости 3) можно дать, повторяя рассуждения

Эти условия обеспечивают применимость к задаче (29.15) теории § 27, а в случае фредгольмости оператора В — теории главы VII. Можно сформулировать соответствующие теоремы.

Заметим в заключение, что иногда удобно рассматривать задачу (29.15) как задачу с неограниченными операторами. Пусть в дополнение к перечисленным выше условиям выполнено неравенство (к — число измерений), тогда вследствие теорем вложения Соболева — Кондрашева пространство вполне непрерывно вложено в и поэтому В можно рассматривать как замкнутый линейный неограниченный оператор с плотной в областью определения Оператор очевидно, подчинен В, так как имеет более широкую область определения. По-прежнему В есть Н-оператор, и, следовательно, можно воспользоваться теперь результатами пп. 26.4 и 27.5.