ГЛАВА IV. Общее интегральное уравнение и коэффициенты уравнения разветвления

§ 10. Общее интегральное уравнение

10.1. Постановка задачи и предварительные замечания.

Пусть В — ограниченное замкнутое множество конечномерного евклидова пространства, — промежутки вещественной оси или выпуклые области комплексной плоскости и — вещественная или комплекснозначная функция, заданная непрерывная по совокупности аргументов. Дальнейшие ограничения на функцию будут указаны ниже. Рассмотрим общее нелинейное интегральное уравнение

Если функция является монотонной по , то (10.1) называется уравнением Урысона. Мы не будем предполагать, что функция монотонна по и.

Если

то (10.1) называется уравнением Гаммерштейна.

Пусть при некотором значении уравнение (10.1) имеет непрерывное решение т. е.

Ставится задача о нахождении всех непрерывных решений уравнения (10.1) для значений близких к и

удовлетворяющих условию

Мы изучим данную задачу при следующем дополнительном условии. Мы будем предполагать, что функция представима в виде

где непрерывны по совокупности аргументов и ряд (10.3) либо сходится равномерно (когда ), либо сходится регулярно, т. е. сходится ряд

где Впрочем, из равномерной сходимости (см. следует и регулярная сходимость. Подставляя в равенство (10.1) выражения

и учитывая (10.2) и (10.3), получим

ибо Полагая

получим

Таким образом, поставленная задача сводится к нахождению всех непрерывных решений и уравнения (10.4), стремящихся к нулю (в смысле метрики пространства непрерывных функций при .

При нахождении всех малых непрерывных решений уравнения (10.4) мы так же, как при изучении уравнения Ляпунова — Шмидта, рассмотрим отдельно регулярный случай и случай ветвления. Правда, уравнение (10.4) представляет собою частный случай уравнения (8.1). Отметим еще, что если

то в уравнении при будет принимать лишь значения 0 и 1.