§ 5. Двумерный случай ветвления

Здесь мы исследуем задачу о малых решениях системы (1.11), предполагая . В этом случае уравнение разветвления имеет вид

где — аналитические функции в начале координат, удовлетворяющие условию . При этом мы исключаем из рассмотрения случай, когда для ибо в таком случае системе (5.1) удовлетворяют произвольные функции

Как мы видели в § 3, при помощи неособого линейного преобразования переменных

и подготовительной теоремы Вейерштрасса система (5.1) приводится к нормальному виду, т. е. к эквивалентной системе (см. определение 3.3)

Здесь и отмеченные многочлены относительно — аналитические функции в начале координат такие, что

Как было отмечено в § 3, системы (5.1) и (5.2) эквивалентны относительно малых решений.

5.1. Общее исследование задачи. представляют собою многочлены относительно над кольцом . В § 4 мы видели, что это кольцо является Составим результант многочленов

Он представляет собою аналитическую в начале координат функцию , удовлетворяющую условию ибо последний столбец определителя равен нулю при

Сначала мы исследуем тот случай, когда В этом случае, согласно теореме 4.4, многочлены не имеют общего делителя с положительной степенью, т. е. их ОНД ассоциирован с единицей. Однако, если мы рассмотрим уравнение

и найдем его малые решения (они представляются в виде сходящихся рядов по степеням — натуральное число), обращающихся в нуль при то после подстановки каждого такого решения в (5.2) и замены получим систему двух многочленов над кольцом результант которых обращается в пуль тождественно. Согласно теореме имеют тогда ОНД положительной степени и из равенства найдем и как функцию

Имея это в виду, напишем

где а — максимальный допустимый показатель.

Пусть Так как нас интересуют малые решения то для них уравнение (5.3) эквивалентно уравнению

Для нахождения всех малых решений данного уравнения мы воспользуемся диаграммой Ньютона (см. § 2). В данном случае число малых решений уравнения (5.4) конечно и каждое из них представимо в виде ряда, сходящегося в некоторой окрестности нуля:

где — натуральные числа, Каждое из этих решений подставим в систему (5.2). Получим

Так как результант данной системы является нулем кольца , то согласно теореме 4.4 система (5.6) имеет ОНД с положительной степенью относительно

Согласно теореме 3.2 многочлен является отмеченным многочленом относительно ибо — отмеченные многочлены относительно Для нахождения многочлена мы воспользуемся теоремами 4.6, 4.7 и алгоритмом п. 4.3. Применяя затем диаграмму Ньютона к уравнению

найдем все его решения

где — натуральные числа.

Соотношения (5.5) и (5.7) показывают, что в рассматриваемом случае система (5.2) имеет конечное число малых решений

Мы предполагали, что Выясним, что произойдет, если эти условия нарушаются.

Если то, как мы видели в § 2, уравнение (5.4) не имеет малых решений, а потому и система (5.2) не имеет малых решений.

Если является нулем кольца то согласно теореме 4.4 ОНД

имеет положительную степень относительно и (см. теорему 3.2) относительно он является отмеченным многочленом. Мы можем написать

В этом случае система (5.2) распадается на уравнение

и систему

для которой результант где и отмеченные многочлены.

Исследуем сначала уравнение (5.8). Полагая в нем где — параметр, получим

Применяя к нему диаграмму Ньютона, мы получим одно или несколько семейств малых решений , расположенных по целым или дробным степеням X и зависящих от параметра . Таким образом, уравнение (5.8) имеет бесчисленное множество малых решений

Разумеется, возможны различные специализации параметра , т. е. можно положить где , в частности, такие, при которых ряды по целым или дробным степеням А.

Переходим к рассмотрению системы (5.9). Так как для нее то с ней мы поступаем так же, как мы поступили с системой (5.2), в предположении, что Ввиду зтого мы можем утверждать, что система (5.9) имеет конечное число (не равное нулю, если выполнено соответствующее условие малых решений и каждое из них представимо в виде сходящегося (в некоторой окрестности точки ряда по целым или дробным степеням А. Этим доказана

Теорема 5.1. Для того чтобы в двумерном случае ветвления существовало конечное число I малых решений, необходимо и достаточно, чтобы

При этом, если то и компоненты всех малых решений представимы в виде сходящихся рядов (5.5) и (5.7). Если то система (5.2) имеет одно или несколько однопараметрических семейств малых решений, определяемых уравнением (5.8), а также конечное число малых решений, определяемых системой (5.9), компоненты которых представимы в виде сходящихся рядов по целым или дробным степеням А.