§ 29. Ветвление решений краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений

В этом параграфе будет показана справедливость результатов §§ 21-27 для некоторых достаточно широких классов краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений и систем с параметром. Современная теория дифференциальных уравнений основывается на фундаментальных исследованиях С. Н. Бернштейна, Шаудера, И. Г. Петровского, С. Л. Соболева, М. И. Вишика, И. Н. Векуа, О. А. Олейник, О. А. Ладыженской и многих других авторов. В последние годы установлена нетеровость (или фредгольмовость) ряда линейных операторов, порождаемых эллиптическими краевыми задачами, а также более общими сингулярными операторами, включающими также сингулярные интегральные операторы (А. И. Вольперт, С. Агмон, А. Дуглис, Л. Ниренберг, М. Шехтер, А. С. Дынин, Л. Р. Волевич, М. И. Вишик, М. С. Агранович и др.). Каждый такой результат позволяет применить абстрактную схему глав VII и VIII к соответствующему классу нелинейных задач. Ниже мы приводим три класса задач, достаточно полно, на наш взгляд, иллюстрирующих метод. Вспомогательные результаты линейной теории даны без доказательств.

29.1. Краевые задачи для эллиптического уравнения второго порядка в пространствах Гёльдера.

Следуя монографии Миранды [1], рассмотрим сначала краевые задачи для линейных эллиптических уравнений. Пусть — ограниченная

область класса (см. Миранда [1], стр. 10) с границей Г, лежащей в евклидовом пространстве Рассмотрим в дифференциальное выражение к к

где коэффициенты причем

при любых вещественных и любых . Рассмотрим в каждой точке Г ориентированную прямую направленную от , т. е. такую, что

Пусть, далее, — три функции, определенные и непрерывные на Г, так что — непрерывная в функция, причем Ставится краевая задача: найти непрерывную в и дважды непрерывно дифференцируемую в функцию и такую, что дифференцируема по направлению в каждой точке Г, в которой а , и во всех точках Г удовлетворяет краевому условию

Наиболее важными являются следующие краевые задачи:

а) Первая краевая задача, или задача Дирихле, когда в Здесь краевое условие принимает вид

б) Вторая краевая задача, или задача Неймана, когда в направление совпадает с направлением

конормали, направляющие косинусы которого равны

где X — направляющие косинусы внешней нормали к Г. Здесь граничное условие (29.2) без ограничения общности можно написать в виде

в) Третья краевая задача, или задача с косой производной, когда в (29.2) а 0 и направление любое, для которого имеет положительную нижнюю грань на Г. Можно показать (см. Миранда [1]), что без ограничения общности граничное условие (29.2) можно записать в следующем виде:

где таковы, что . В случае третьей краевой задачи будем предполагать дополнительно, что функции принадлежат а направляющие косинусы направления принадлежат

Возможны также краевые задачи, в которых направление является касательным к Г в некоторых точках, а также задачи, в которых а обращаются в нуль на части границы, но здесь такие задачи рассматриваться не будут.

В книге Миранды [1] методом сведения к интегральным уравнениям для задач а), б), в) доказана альтернатива Фредгольма: либо однородная задача

имеет лишь тривиальное решение, в этом случае неоднородная задача

разрешима при любых либо однородная задача (29.3) имеет линейно независимых решений, в этом случае существует линейно независимых пар функций юг таких, что для разрешимости неоднородной задачи (29.4) необходимо и достаточно, чтобы

Дифференциальное выражение с граничными условиями задает дифференциальный оператор , который является линейным ограниченным оператором, действующим из Для случаев 1-й, 2-й и 3-й краевых задач, вследствие справедливости для них альтернативы Фредгольма, оператор В является ограниченным фредгольмовским оператором. Заметим еще, что в случае 1-й краевой задачи

— направление конормали), а в случае 2-й и 3-й крае задач

где линейно независимые решения однородной сопряженной задачи

где функции а и (3 определяются через известные функции.

Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение

с граничным условием

где

а функции и — достаточно гладкие функции своих переменных, — числовой параметр. Пусть при значении параметра краевая задача (29.5) — (29.6) имеет эллиптическое решение т. е. квадратичная форма

для всех является положительной.

Будем разыскивать решения задачи (29.5) — (29.6), являющиеся продолжениями решения по параметру Для этой цели сделаем замену переменных и и

в результате чего придем к следующей задаче для определения

Здесь — дифференциальный оператор вида (29.1). Пусть функция в (29.6) и решение таковы, что — граничное условие 1-й, 2-й или 3-й краевой задачи. Функции зависят от и ее производных при нелинейно, т. е.

причем достаточно гладки.

Полагая мы видим, что (29.8) можно рассматривать как одно уравнение вида (23.6) с фредгольмовским оператором. Поэтому для задачи (29.8), а значит и для задачи (29.5) — (29.6), применимы результаты главы VII. Например, ограничиваясь случаем аналитических по своим переменным (кроме функций и приходим к следующему выводу:

Теорема 29.2. Если однородная задача (29.3) имеет лишь тривиальное решение, то для всех достаточно близких к задача (29.5) — (29.6) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию и

Пусть (29.3) имеет линейно независимых решений, тогда отыскание решений задачи (29.5) — (29.6) сводится к уравнению разветвления, представляющему собой систему числовых уравнений с неизвестным и параметром При возможны лишь три случая:

1) Уравнение разветвления обращается в тождество, тогда задача (29.5) — (29.6) имеет однопараметрическое семейство решений и — и с малым прозвольным параметром ?.

2) Уравнение разветвления не имеет малых решений, тогда и (29.5) — (29.6) не имеет решений, близких к

3) Существует конечное число решений задачи (29.5) — (29.6), обращающихся в при и все они представимы сходящимися рядами по целым или дробным степеням