14.3. Особые решения в регулярном случае.

В предыдущем пункте мы видели, что если 1 не является собственным значением оператора А, то уравнение (14.1) не имеет особых решений, если при уравнение (14.3) имеет лишь пулевое решение. Однако если при уравнение (14.3)

имеет ненулевые решения, то уравнение (14.1) может иметь особые решения и в регулярном случае. Покажем это. Пусть 1 не является собственным значением оператора А и резольвента Фредгольма ядра Тогда из уравнения (14.3) мы находим

где

Впрочем, к уравнению (14.4) можно прийти, если положить в уравнении (14.1) а затем воспользоваться заменой (14.2). Таким образом, уравнение (14.4) можно рассматривать и как частный случай уравнения (14.3).

Полагая в уравнении получим

Для нахождения ненулевых решений данного уравнения мы воспользуемся заменой

где при нечетном к и при четном к. При помощи данного преобразования уравнение (14.5) примет вид

Известны различные достаточные условия существования ненулевых решений данного уравнения. Например, если ядро положительно (т. е. все его собственные значения положительны) или квазиотрицательно (т. е. спектр линейного интегрального оператора с ядром имеет положительную и отрицательную части, но положительная часть состоит из конечного числа собственных значений, имеющих конечную кратность) и А; — нечетное

число, то (см. М. М. Вайнберг [1], теоремы 25.1 и 25.5) уравнение (14.7) имеет континуум ненулевых решений соответствующих положительным значениям параметра При четном к можно воспользоваться другими предложениями. Именно, если положительно определенное ядро, то (см. М. Голомб [1], теорема 7 и М. М. Вайнберг [1], теорема 25.7) уравнение (14.7) имеет континуум ненулевых решений. Эти решения соответствуют отличным от нуля значениям параметра так как в силу положительной определенности ядра имеет место соотношение

Пусть — какое-нибудь ненулевое решение уравнения (14.7), соответствующее отличному от нуля значению (положительному значению если к — нечетное число). Тогда при помощи (14.6) мы получаем ненулевое решение уравнения (14.5). Положим

Тогда уравнение (14.4), если учесть, что — решение уравнения (14.5), примет вид

Данное уравнение мы назовем вспомогательным. Оно имеет тот же вид, что и уравнение (10.4), так что к нему применимы методы исследования, изложенные в предыдущих параграфах. Именно, в невырожденном случае каждое малое решение вспомогательного уравнения (14.9) представимо в виде сходящегося ряда по целым или дробным степеням к. Каждое такое малое решение, в силу (14.8),

приводит к решению вида

уравнения (14.4), где — положительные рациональные числа с общим знаменателем. Отсюда согласно преобразованию (14.2) мы в регулярном случае приходим к особым решениям вида

уравнения (14.1). Ввиду этого задача сводится к исследованию вспомогательного уравнения (14.9).