16.4. Описание решений и дополнительные замечания.

Так как уравнение разветвления (16.9) представляет собою частный случай системы (15.9), то решения задачи описываются так же, как в § 15. Именно, теоремы 15.2, 15.3, 15.5, 15.6, 15.7 и 15.8 сохраняются для рассматриваемой в данном параграфе задачи Справедливы и все замечания предыдущего параграфа о применении метода неопределенных коэффициентов для вычисления функций входящих в ряды (15.14).

В § 6 при изучении многомерного случая ветвления было введено понятие кваэирегулярного случая (см. определение 6.1). Если условиться считать одномерный случай ветвления квазирегулярным, когда не все коэффициенты уравнения разветвления равны нулю, то мы приходим к следующему предложению.

Теорема 16.1. В регулярном и квазирегулярном случаях всякое формальное решение задачи является и настоящим.

Данная теорема следует из теорем 15.1, 15.4 и 15.9. В других случаях, называемых вырожденными (см. определение 6.2), не всякое формальное решение задачи является и настоящим. Например, система

для которой имеет место вырожденный случай, обладает семейством -периодических решений вида

где произвольная функция от Если за выбрать степенной ряд, который сходится лишь при то мы получим формальное решение рассматриваемой системы, не являющееся настоящим решением.

Сделаем в заключение следующие замечания.

Замечание 16.1. Если в уравнении (16.1) заменить постоянную матрицу А -периодической по матрицей

то мы придем к аналогичным выводам. Действительно, в этом случае по теореме Ляпунова (см. А. М. Ляпунов [2], § 47, а также Ф. Р. Гантмахер [1], гл. 14, § 3) мы при помощи преобразования Ляпунова придем к уравнению вида (16.1) с постоянной матрицей.

Замечание 16.2. Отметим еще, что путем перехода к уравнению в вариациях (см., например, С. Лефшец [2], стр. 168) уравнение (15.1) можно свести к уравнению вида (16.1).