§ 33. Особые решения нелинейных уравнений

33.1. Постановка задачи и основные понятия.

Пусть — нелинейный оператор, определенный для всех и для со значениями в Пусть — решение при уравнения Назовем особым решением, если не существует конечного предела при если указанный предел существует и конечен, то решение назовем регулярным. Ниже мы ограничиваемся рассмотрением случая, когда — малый комплексный параметр и также комплексные банаховы пространства. С одной стороны, этот случай наиболее важен в приложениях, с другой стороны, в известном смысле он является общим, ибо в случае функционального параметра, рассмотрев уравнение в отдельности на каждом луче мы приходим к уравнению с малым числовым параметром

Приведем некоторые примеры особых решений. Простейшие примеры дает алгебраическое уравнение

где — аналитические функции К в окрестности точки

В § 2 мы видели, что если то уравнение это имеет особые решения вида

где — натуральные числа. Таким образом, здесь точка служит алгебраической точкой ветвления типа полюса для особого решения

Более содержательные примеры особых решений доставляют нелинейные интегральные уравнения (см. § 14).

Рассмотрим, например, интегральное уравнение с малым комплексным параметром к:

Из уравнения непосредственно видно, что не зависит от , следовательно, уравнение эквивалентно уравнению

Подбирая в качестве функции, различным образом, стремящиеся к получим различные примеры особых решений.

Пример 1. , тогда При где натурально, является полюсом порядка в остальных случаях является алгебраической или трансцендентной точкой ветвления типа полюса.

Пример 2. , тогда служит существенно особой точкой решения.

Пример тогда является логарифмической точкой ветвления решения.

Можно построить и более сложные примеры.

Особое решение назовем большим, если

За исключением примера 2, все рассмотренные выше особые решения являются большими. Именно исследованием больших решений мы ограничимся ниже, хотя, конечно, аналогичными методами можно исследовать и некоторые другие типы особых решений.

Исследование больших решений следующим элементарным приемом во многих случаях можно свести к исследованию малых решений.

Будем искать большие решения уравнения

представимые в виде

где комплекснозначйая функция малого комплексного переменного к такая, что

— малая функция со значением в т. е.

Пусть существует комплекснозначная функция определенная для достаточно малых к, исключая, быть может, точку и функции со значениями в такие, что справедливо разложение

и пусть уравнение имеет решение Тогда задача нахождения больших решений вида (33.2) эквивалентна задаче отыскания малых решений уравнений

где пробегает множество корней уравнения

Отметим, что если то мы приходим к большому решению

Если

При этом возможны большие решения обоих типов, так как уравнение может иметь как тривиальное, так и нетривиальные решения.

В заключение заметим, что уравнения вида (33.6) были исследованы в главах VII и VIII и, таким образом, в ряде случаев задача отыскания больших решений сводится к задаче отыскания малых решений.