6.4. Вырожденный случай ветвления.

Определение 6.2. Многомерный случай ветвления называется вырожденным, если не ассоциирован с единицей при некотором

Теорема 6.2. В вырожденном случае число малых решений уравнения разветвления бесконечно.

Доказательство. Пусть имеет место вырожденный случай, т. е. хотя бы для одного не ассоциирован с единицей. Тогда система (6.50 имеет решения, определяющиеся уравнением

где — отмеченный многочлен относительно Полагая

(где — произвольные параметры и коэффициенты рядов подобраны так, чтобы эти ряды сходились в некотором круге с центром в точке мы после подстановки этих в уравнение (6.13) получим

где — отмеченный многочлен относительно Применяя к уравнению (6.14) диаграмму Ньютона и считая фиксированными, мы получим семейства малых решений уравнения разветвления (6.5), зависящие от

параметров и представимые в виде сходящихся рядов по целым или дробным степеням К. Ясно, что число этих решений бесконечно. Теорема доказана.

Из теорем 6.1 и 6.2 вытекает

Следствие 6.1. Для того чтобы число малых решений уравнения разветвления (6.5) было конечным и отличным от пуля, необходимо и достаточно выполнение условия:

Отметим еще, что совокупность всех малых решений уравнения разветвления (6.5)

где — совокупность всех малых решений, порождаемых уравнением