28.4. Нелинейные сингулярные интегральные уравнения с ядром Гильберта в пространствах Лебега.

Рассмотрим теперь нелинейное сингулярное интегральное уравнение с ядром типа Гильберта

в предположении, что выполнены следующие условия:

1) на одновременно в нуль не обращаются и удовлетворяют на условию Гёльдера с показателем ;

2) непрерывны по совокупности переменных х, К в полосе почти при каждом фиксированном и измеримы по при фиксированных х и

3) почти для всех значений

4) для всех и почти для всех значений имеет место равномерная по оценка

где — пространство функций, суммируемых на со степенью

Эти четыре условия достаточны для того, чтобы оператор был непрерывным оператором из топологического произведения где и имел непрерывную производную Фреше по х. Действительно, если мы рассмотрим оператор Немыцкого

то из условия 4) согласно теореме 19.1 (М. М. Вайнберг [1]) следует, что оператор

действует непрерывно из в а потому по лемме 20.1 (М. М. Вайнберг [1]) — непрерывный оператор из

Рассмотрим теперь операторы :

Оператор как оператор умножения на ограниченную функцию (см. условие 1)), действует из в а так как пространство вложено в ибо то действует и из в Далее, как показал М. Рисс [1], линейный сингулярный интегральный оператор

непрерывен из при всяком Отсюда и из равенства

где непрерывная функция на следует, что оператор Т также непрерывен из

Из непрерывности операторов Т и следует непрерывность произведения линейного оператора Т и оператора Немыцкого А, т. е. что нелинейный оператор

непрерывен из пространства в пространство Но

следовательно, — непрерывный оператор из Остается еще показать дифференцируемость Оператор дифференцируем по Фреше, как линейный ограниченный оператор. Далее, так как непрерывно действует из то по теореме 20.1 (М. М. Вайнберг [1]) оператор имеет линейный ограниченный дифференциал Гато

где -фиксированы, произвольная функция из Отсюда и из ограниченности оператора Т следует, что и оператор имеет линейный дифференциал Гато

Поступая теперь так же, как при доказательстве теоремы

20.3 (М. М. Вайнберг [1]), мы найдем, что данный дифференциал Гато является дифференциалом Фреше. Этим доказано, что

Покажем ограниченность этого оператора. Во-первых,

ибо — ограниченный оператор из в L (значки и означают, что нормы берутся соответственно в и . Далее, так как

то Отсюда в силу ограниченности оператора Т из в имеем

и, кроме того,

причем ибо фиксированная функция.

Таким образом, окончательно

Представим теперь оператор в таком виде, чтобы можно было воспользоваться теоремами 27.1 — 27.2. Можно показать, что из условий 2) и 3) следует, что

где при При этом оператор действует из в ибо обладает этим свойством. Следовательно, мы можем написать, что

и, полагая

получим, что уравнение можно записать в следующем виде:

где согласно доказанному правая часть этого равенства действует из в . Из § 27 непосредственно следует, что к этому уравнению применимы теоремы 27.1-27.2 или же теорема о неявных операторах, если только оператор В удовлетворяет соответствующим условиям. Но к оператору В и к союзному оператору

применимы теоремы 28.1 и 28.2 Ф. Нетера Гахов [1], В. К. Наталевич [1]).

Оператор В в рассматриваемом случае совпадает со своим характеристическим, однако здесь ситуация несколько отличается от той, которая имеет место для оператора с ядром типа Коши. Возможны следующие случаи (и только они): . Тогда имеется две возможности Гахов либо либо (В случае сингулярного интегрального оператора с ядром типа Коши осуществляется только первое )

Если то оператор В имеет ограниченный обратный и применима теорема о неявных операторах

22.1. Если же то задача сводится к одномерному уравнению разветвления, что позволяет при конкретном виде выяснить, сколько решениц и какого типа имеет задача. Тогда — хит по теореме 27.1 решение уравнения зависит от функции

где — нули оператора В, а — произвольные непрерывные функции, достаточно малые по абсолютной величине

Тогда и по теореме 27.2 задача может иметь лишь единственное решение, если выполнено дополнительных условий.

Подчеркнем, что индекс мы понимаем здесь в смысле Н. И. Мусхелшпвили:

В заключение заметим, что полученные в настоящем параграфе утверждения можно сформулировать и как соответствующие утверждения теории ветвления краевых задач для аналитических функций (Ф. Д. Гахов [1], В. К. Наталевич [1]).