§ 20. Об устойчивости периодических решений, зависящих от малого параметра

Вопрос об устойчивости периодических решений дифференциальных уравнений представляет большой интерес как с теоретической стороны, так и для приложений. Этим объясняется, что указанному вопросу посвящено большое число работ, список которых читатель может найти в известном обзоре Л. Чезари [1].

Следует также назвать появившиеся позже упомянутого обзора Л. Чезари монографию М. А. Красносельского [2], работы А. П. Проскурякова [4], Г. В. Плотниковой [1] и М. Я. Кушуль [1].

Мы не стремились дать исчерпывающее изложение вопроса. Нами руководствовало лишь желание указать на один из возможных подходов к задаче об устойчивости решений

дифференциальных уравнений с малым параметром, использующий методы теории ветвления.

20.1. Предварительные сведения из теории устойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим неавтономное уравнение

где -мерные векторы комплексного или вещественного евклидова пространства причем вектор таков, что каждому начальному значению из области

отвечает единственное непрерывное решение уравнения (20.1), определенное для всех

Дадим следующие определения.

Решение уравнения (20.1) называется устойчивым по Ляпунову, если каждому отвечает число такое, что для любого другого решения уравнения, для которого выполняется неравенство для всех

Если дополнительно выполняется соотношение хотя бы для тех для которых мала, то говорят об асимптотической устойчивости решения

Вопрос об устойчивости заданного решения уравнения (20.1) легко сводится к вопросу об устойчивости тривиального решения уравнения

Действительно, для этого достаточно положить в и учесть тождество.

Рассмотрим теперь частный случай.

Предположим, что вектор-функция непрерывная по совокупности аргументов где — окрестность точки является -периодической по и аналитической по у. Тогда уравнение (20.2) можно записать в виде

где — матрица, непрерывная и -периодическая по t, — вектор-функция, непрерывная по совокупности -периодическая по аналитическая по у и не содержащая линейных членов относительно у.

Наряду с уравнением (20.2) рассмотрим соответствующее ему линейное уравнение

Введем обозначения:

— интегральная матрица уравнения (20.3), удовлетворяющая условию;

— собственные значения матрицы (матрицы монодромии уравнения и

(Величина и величины называются соответственно спектральным радиусом и мультипликаторами уравнения

Один из основных методов (который мы в дальнейшем используем) для исследования устойчивости тривиального решения уравнения (20.2) заключается в исследовании по первому приближению, т. е. исходя лишь из линейного уравнения (20.3). В основу такого исследования положены две теоремы А. М. Ляпунова, которые в рассматриваемом здесь частном случае формулируются следующим образом.

Теорема 20.1. Если то тривиальное решение уравнения (20.2) асимптотически устойчиво.

Теорема 20.2. Если то тривиальное решение уравнения (20.2) неустойчиво.

Сделаем следующее

Замечание 20.1. Если то задача об устойчивости тривиального решения уравнения (20.2) не решается по первому приближению.